단면 2차 모멘트와 단면 2차 반지름

핵심 정리

단면 2차 모멘트는 단면이 휨과 처짐에 저항하는 정도를 나타내는 단면의 성질이며, 기호는 I로 쓴다. 이 값은 재료의 종류가 아니라 단면의 모양과 치수로 정해지므로, 같은 재료라도 단면을 바꾸면 휨과 처짐에 대한 저항이 달라진다. 탄성계수 E와 곱한 EI를 휨강성이라 하며, 휨강성이 큰 부재일수록 구조적으로 안전하다. 각가속도를 구할 때 쓰는 관성모멘트와는 개념이 다르지만, 공학에서는 같은 이름과 같은 기호를 쓰므로 문맥이나 단위로 어느 쪽인지 구분해야 한다.

단면 2차 모멘트는 축을 어디에 잡느냐에 따라 값이 달라진다. 따라서 계산에 앞서 기준이 되는 축을 먼저 정해야 하며, 그 축이 도심을 지나는지 여부에 따라 값의 해석이 함께 달라진다. 축의 위치를 잘못 잡으면 같은 단면이라도 엉뚱한 값이 나오므로, 문제의 조건에서 축과 도심의 위치를 먼저 확인하는 것이 순서다. 기준축을 먼저 정한다

단면 2차 모멘트는 단면계수, 단면 2차 반지름, 휨응력 계산 등에 쓰인다. 단면적이 같은 부재라면 단면 2차 모멘트가 클수록 휨에 잘 견디고 변형이 작다. 그러므로 같은 면적을 쓰는 설계에서 휨 저항을 높이려면 단면 2차 모멘트를 키우는 방향으로 치수를 정하는 것이 기본이 된다.

단면 2차 반지름과 회전반경은 단면 2차 모멘트를 면적과 연결해 길이 단위로 바꾼 값이다. 이 값은 기둥의 좌굴 검토와 부재 단면의 비교에 쓰이므로, 아래 쟁점에서 정의와 식을 함께 정리한다. 단면 2차 모멘트가 크다고 반지름이 반드시 크다고 단정할 수 없으니, 면적으로 나눈 값으로 비교해야 한다.

자세히

단면 2차 반지름과 회전반경

단면 2차 반지름은 회전반경이라고도 부르며, 기둥이 좌굴할 때 단면이 얼마나 버티는지를 길이 단위로 나타낸 값이다. 회전반경 r은 단면 2차 모멘트 I와 단면적 A로 r=√(I/A)에 따라 구한다. 최소 회전반경은 단면 2차 모멘트를 단면적으로 나눈 값의 제곱근이다. 최소 회전반경을 구할 때는 두 주축 방향 중 단면 2차 모멘트가 작은 쪽을 기준으로 잡는다. 같은 식을 쓰더라도 두 값은 기준 축이 다르므로, 계산 결과를 서로 바꿔 쓰면 안 된다.

계산 결과의 단위가 길이로 떨어지는지 확인하면 I와 A를 잘못 넣은 실수를 줄일 수 있다. 단면적 A가 커지면 같은 I에서도 반지름은 작아진다는 점을 함께 기억해야 한다.

정다각형과 도심축

정다각형 단면은 대칭성이 높아 도심을 구하는 계산이 단순한 대표적인 단면이다. 정다각형 단면의 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 축의 회전과 관계없이 모두 같다. 직사각형처럼 축의 방향에 따라 값이 달라지는 단면과 구분해야 하며, 선지에서 단면 형상이 정다각형인지부터 확인해야 한다. 정다각형 조건이 빠진 선지에는 이 성질을 그대로 적용할 수 없다.