Số phức

Dạng đại số của số phức

Số phức có dạng đại số z=a+bi với a,b\in\mathbb{R} và i^2=-1. Số a là phần thực \text{Re}\,z, còn b là phần ảo \text{Im}\,z. Phần ảo là số thực b, không kèm đơn vị i. Ví dụ: số 5-2i có phần thực 5 và phần ảo -2, không phải -2i.

Các dạng đặc biệt và cách viết:

• Số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Số thuần ảo là số phức có phần thực bằng 0, viết dạng bi.
• Viết số phức từ phần thực p và phần ảo q là p+qi, giữ đúng dấu của q. Ví dụ: phần thực -4 và phần ảo 7 cho z=-4+7i; phần thực 2 và phần ảo -6 cho z=2-6i.

Cộng, trừ số phức:

• (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i: cộng riêng phần thực và phần ảo. Ví dụ: (1+4i)+(3-i)=4+3i.
• Phép trừ làm tương tự: phần thực của hiệu bằng hiệu hai phần thực, không phụ thuộc phần ảo. Ví dụ: phần thực của (6+2i)-(4-5i) là 2.
• Đồng nhất: a+bi=c+di \iff a=c và b=d. Khi có tham số thực, rút gọn vế trái về dạng đại số rồi cho phần thực và phần ảo bằng nhau để lập hệ. Ví dụ: (x+2yi)+(1-3i)=4+i suy ra x+1=4 và 2y-3=1, tức x=3, y=2.
• Khi phương trình chứa \bar z, đặt z=x+yi thì \bar z=x-yi, rồi đồng nhất theo cách trên.

Nhân và chia:

• Nhân với số thực k: k(a+bi)=ka+kbi, nhân cả phần thực lẫn phần ảo. Ví dụ: -3(2-i)=-6+3i.
• Nhân hai số phức: (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i, sau đó thay i^2=-1. Lỗi hay gặp là quên i^2=-1. Ví dụ: (1+i)(1-i)=2.
• Vì i\cdot(-i)=1 nên \dfrac1i=-i. Để tìm z từ iz=w, nhân hai vế với -i. Ví dụ: iz=2+3i thì z=-i(2+3i)=3-2i.

Số phức liên hợp:

• \overline{a+bi}=a-bi: giữ nguyên phần thực, chỉ đổi dấu phần ảo. Không được đổi chỗ hai thành phần cũng không đổi dấu phần thực. Ví dụ: liên hợp của -6-i là -6+i.
• Nếu z=a+bi thì phần ảo của \bar z bằng -b. Ví dụ: với z=1-2i, phần ảo của \bar z bằng 2.
• z\bar z=a^2+b^2 là số thực không âm.

So sánh phần ảo: hai số phức có cùng phần ảo khi và chỉ khi hệ số b của i bằng nhau, không xét phần thực. Ví dụ: số có phần ảo bằng phần ảo của 2+3i là -5+3i.

Lỗi thường gặp: nhầm phần ảo với bi, hoán đổi phần thực và phần ảo, và quên đổi dấu khi lấy liên hợp.

Biểu diễn hình học số phức

Mỗi số phức z=a+bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b) trên mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi là mặt phẳng phức. Hoành độ là phần thực và tung độ là phần ảo. Không được đảo thứ tự hai tọa độ. Ví dụ: điểm (-3;5) biểu diễn số -3+5i.

Đọc số phức từ hình vẽ: lấy hoành độ làm phần thực và tung độ làm phần ảo, rồi viết dạng a+bi. Điểm ở góc phần tư thứ nhất cho số có phần thực và phần ảo đều dương.

Các phép toán và điểm biểu diễn:

• Hai số liên hợp a+bi và a-bi có điểm biểu diễn đối xứng nhau qua trục hoành Ox.
• Phép cộng số phức tương ứng với phép cộng vectơ. Số phức dạng m z_1+n z_2 với m,n thực có điểm biểu diễn là tổ hợp tương ứng của tọa độ. Ví dụ: với z_1=2+i, z_2=1-3i thì 2z_1+z_2=5-i, điểm biểu diễn là (5;-1).
• Nhân với i là phép quay 90^\circ quanh gốc O ngược chiều kim đồng hồ. Từ i(a+bi)=-b+ai, điểm (a;b) chuyển thành (-b;a). Ví dụ: i(2+5i)=-5+2i.

Môđun: |z|=\sqrt{a^2+b^2} là khoảng cách từ O đến điểm biểu diễn, và |z_1-z_2| là khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn.

Tập hợp điểm:

• |z-z_0|=R là đường tròn tâm z_0 bán kính R. Thay z=x+yi rồi đưa về dạng (x-p)^2+(y-q)^2=K. Bán kính là \sqrt{K}, không phải K. Ví dụ: (x+4)^2+(y-2)^2=34 có bán kính \sqrt{34}.
• Khi điều kiện là một số phức thuần ảo, phần thực của tích phải bằng 0. Sau khi khai triển, hoàn thiện bình phương để đọc tâm và bán kính đường tròn.

Hình học khác trong đề thi:

• Nếu \dfrac{w}{u} là số thực dương thì w cùng hướng với u. Với z=a+bi có z+\bar z=2a và z-\bar z=2bi, nên |z+\bar z|=2|a| và |z-\bar z|=2|b|. Điều kiện |a|+|b|=k là một hình vuông có tâm tại gốc O, và điều kiện dấu của ab chọn các cạnh nằm trong từng góc phần tư.
• Phép quay quanh gốc O và phép nhân với số phức có môđun 1 không làm đổi khoảng cách và diện tích. Diện tích tam giác có thể tính bằng công thức đáy nhân chiều cao sau khi xác định tọa độ các đỉnh.

Phương trình bậc hai với nghiệm phức

Xét phương trình az^2+bz+c=0 với a,b,c là số thực và a\ne0. Biệt thức là \Delta=b^2-4ac. Khi \Delta\ge0, hai nghiệm là số thực. Khi \Delta<0, hai nghiệm là hai số phức liên hợp z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}.