Tích phân và ứng dụng

Tính chất tích phân tuyến tính

Tích phân có tính tuyến tính: với mọi hằng số \alpha,\beta, \int_a^b [\alpha f(x)+\beta g(x)]\,dx=\alpha\int_a^b f(x)\,dx+\beta\int_a^b g(x)\,dx. Hằng số nhân được đưa ra ngoài dấu tích phân, còn tổng và hiệu được tách thành tổng và hiệu các tích phân.

Hằng số cộng vào hàm số cho tích phân \int_a^b c\,dx=c(b-a), nên phải nhân với độ dài khoảng lấy tích phân, không chỉ cộng giá trị c một lần.

Với hiệu hai hàm, \int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx=\int_a^b f(x)\,dx-\int_a^b g(x)\,dx. Khi thay giá trị âm vào, phải giữ nguyên dấu của số hạng, không đổi dấu sai.

Nếu F là nguyên hàm của f thì f=F'; khi hàm được cho qua nguyên hàm, phải suy ra f rồi mới áp dụng tính tuyến tính.

Tương tự, khi chia khoảng lấy tích phân thành các đoạn liền nhau, tích phân trên cả khoảng bằng tổng các tích phân thành phần, kể cả khi các giá trị thành phần có dấu âm.

Diện tích hình phẳng giữa hai đồ thị

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y=f(x) và y=g(x) trên đoạn [a;b] là S=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx, trong đó a,b là hoành độ giao điểm, tức nghiệm của f(x)=g(x). Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối, xét dấu của f-g trên từng khoảng giữa các nghiệm rồi tách thành tổng các tích phân có dấu không đổi.

Khi hiệu f-g là đa thức bậc ba có ba nghiệm đơn x_1,x_2,x_3, viết f-g=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3); hệ số a tìm được bằng cách đồng nhất hệ số tự do. Dấu của hiệu đổi mỗi khi đi qua một nghiệm đơn.

Khi parabol và đường thẳng cắt nhau tại hai điểm, hiệu (trên trừ dưới) trên đoạn giữa hai giao điểm là đa thức bậc hai không đổi dấu, nên diện tích là tích phân của hiệu đó trên đoạn này.

Với phần parabol giới hạn bởi một dây cung, nếu y=-a(x-x_1)(x-x_2) với a>0 thì diện tích bằng \dfrac{a(x_2-x_1)^3}{6}.

Khi diện tích hai phần nằm hai phía của một đường và bằng nhau, điều kiện thường đưa về phương trình theo tham số, chẳng hạn tích phân của hiệu hai hàm bằng 0 trên một đoạn.

Nếu hiệu hai hàm có dạng \dfrac{u'(x)}{u(x)} thì nguyên hàm là \ln|u(x)|, nên diện tích cho kết quả dạng logarit.

Hai nguyên hàm của cùng một hàm chỉ khác nhau một hằng số, nên đồ thị của chúng song song và cách đều nhau; diện tích giữa chúng trên một đoạn bằng hằng số đó nhân với độ dài đoạn.

Diện tích giới hạn bởi đồ thị và trục Ox là \int|f(x)|\,dx, phải xét dấu theo từng đoạn. Ngoài ra, với mọi x ta có \dfrac{1}{a^x+1}+\dfrac{1}{a^{-x}+1}=1, và nếu h là hàm chẵn thì \int_{-k}^{k}\dfrac{h(x)}{a^x+1}\,dx=\dfrac12\int_{-k}^{k}h(x)\,dx.

Thể tích khối tròn xoay bằng tích phân

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a, x=b quanh trục Ox, thể tích là V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx. Mỗi tiết diện vuông góc với trục là hình tròn bán kính |f(x)|.

Không nhầm với diện tích: diện tích hình phẳng không có thừa số \pi và không bình phương hàm số, còn thể tích khối tròn xoay luôn có \pi và bình phương hàm số dưới dấu tích phân.

Khi khối có lỗ khoan hình trụ đồng trục, tiết diện là hình vành khuyên có diện tích \pi(R^2-r^2), với R là bán kính ngoài và r là bán kính lỗ. Trên các đoạn mà bán kính ngoài nhỏ hơn hoặc bằng bán kính lỗ thì không còn vật chất.

Ứng dụng tích phân trong chuyển động

Nếu vận tốc v(t) liên tục thì quãng đường đi được trong khoảng [t_1;t_2] là s=\int_{t_1}^{t_2}|v(t)|\,dt. Khi v(t)\ge 0 trên cả khoảng thì s=\int_{t_1}^{t_2}v(t)\,dt. Nếu vận tốc đổi dấu (vật quay lại), phải tách khoảng tại các điểm v(t)=0.

Vật dừng hẳn khi v(t)=0; dùng điều kiện này để xác định cận của tích phân.

Khi đồ thị vận tốc là một cung parabol có đỉnh (h;k), viết v(t)=a(t-h)^2+k, rồi dùng một điểm khác trên đồ thị để tìm a.

Nếu hai vật cùng xuất phát từ một gốc nhưng một vật xuất phát muộn hơn, hai vật gặp nhau khi quãng đường đi được của chúng bằng nhau. Vật xuất phát từ trạng thái nghỉ với gia tốc không đổi a có v(t)=at và quãng đường \dfrac{1}{2}at^2.

Đổi biến trong tích phân

Đổi biến u=kx+b thì dx=\dfrac{du}{k} và cận tích phân phải đổi sang biến u: \int_a^b f(kx)\,dx=\dfrac{1}{k}\int_{ka}^{kb}f(u)\,du. Quên hệ số \dfrac1k hoặc quên đổi cận là lỗi thường gặp.

Sau khi đổi biến, nếu xuất hiện tích phân của xf(x) trên cận cố định, có thể dùng tích phân từng phần để chuyển f' về f: \int_a^b x^2 f'(x)\,dx=[x^2f(x)]_a^b-2\int_a^b xf(x)\,dx.

Diện tích hình phẳng bằng tích phân

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a, x=b là S=\int_a^b |f(x)|\,dx. Trên đoạn mà đồ thị nằm phía trên Ox thì lấy f(x), còn phía dưới Ox thì lấy -f(x). Vì vậy phải tách tích phân tại các điểm f(x)=0.

Khi hàm không đổi dấu trên đoạn lấy tích phân, S=\int_a^b f(x)\,dx; công thức này không có thừa số \pi và không bình phương hàm số, khác với công thức thể tích khối tròn xoay.

Tính chất cộng tích phân theo cận

Với ba số a,b,c bất kỳ, nếu hàm liên tục trên đoạn chứa chúng thì \int_a^c f(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx.

Khi đổi chỗ hai cận, tích phân đổi dấu: \int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx; và \int_a^a f(x)\,dx=0.

Tích phân qua nguyên hàm

Công thức Newton–Leibniz: nếu F là một nguyên hàm của f trên đoạn [a;b] thì \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a). Kết quả không phụ thuộc hằng số C của nguyên hàm.