Phương trình và bất phương trình mũ, lôgarit

Phương trình mũ cơ bản

Phương trình mũ cơ bản có dạng a^{x}=b với a>0, a\ne 1. Vì a^x>0 với mọi x nên nếu b\le 0 thì phương trình vô nghiệm. Nếu b>0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x=\log_a b, theo định nghĩa \log_a b=c \Leftrightarrow a^c=b. Ví dụ 2^x=5 có nghiệm x=\log_2 5. Các bất phương trình dạng a^x<b cũng được giải theo cách này, với chiều bất đẳng thức phụ thuộc vào cơ số.

Khi hai vế đưa được về lũy thừa cùng cơ số dương khác 1, dùng tính chất a^{f(x)}=a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x)=g(x). Tính chất này dựa trên tính đơn điệu của hàm y=a^t: đồng biến khi a>1, nghịch biến khi 0<a<1, nên mỗi giá trị chỉ đạt tại đúng một t. Vì vậy cần nhận ra các lũy thừa thường gặp: 4=2^2, 8=2^3, 9=3^2, 27=3^3, 125=5^3, và \frac18=2^{-3}.

• Đưa về cùng cơ số — phân tích số ở vế phải thành lũy thừa của cơ số vế trái rồi so sánh số mũ. Ví dụ 125=5^3 nên 5^{2x+1}=125 \Leftrightarrow 2x+1=3 \Leftrightarrow x=1.
• Cơ số là lũy thừa của số nhỏ hơn — ví dụ 27=3^3 nên 3^{2x-1}=27 \Leftrightarrow 2x-1=3; tương tự 9=3^2 nên 3^{x-2}=9 \Leftrightarrow x-2=2.
• Lũy thừa âm và phân số — \frac18=2^{-3}, do đó 2^{2x+1}=\frac18 \Leftrightarrow 2x+1=-3.
• Đếm nghiệm của x^2=c — với c>0, phương trình x^2=c có hai nghiệm \pm\sqrt c, nên khi đếm nghiệm phải tính cả nghiệm âm. Ví dụ 2^{x^2+1}=4 \Leftrightarrow x^2=1 có hai nghiệm.
• Bất phương trình mũ cùng cơ số — với a>1 thì a^{f}<a^{g} \Leftrightarrow f<g; với 0<a<1 chiều bất đẳng thức bị đổi. Ví dụ 2^{2x}<2^3 \Leftrightarrow x<\frac32.
• Bất phương trình mũ có số mũ bậc hai — khi cơ số lớn hơn 1, đưa về bất phương trình bậc hai theo x rồi lấy giao với điều kiện. Ví dụ 3^{x^2-23}<3^2 \Leftrightarrow x^2<25.
• Bất phương trình a^x<b — với b>0 và a>1 thì a^x<b \Leftrightarrow x<\log_a b.
• Kiểm tra nghiệm bằng thay thế — sau khi tìm nghiệm, thay lại vào vế trái để so sánh với vế phải.

Phương trình mũ–lôgarit chứa tham số

Với phương trình chứa tham số m, mục tiêu thường là tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm, có số nghiệm cho trước, hoặc đếm số giá trị nguyên của m. Kỹ thuật chính là cô lập tham số: viết phương trình thành m=g(x), khi đó số nghiệm bằng số giao điểm của đường thẳng y=m với đồ thị y=g(x), và tập giá trị của g cho điều kiện của m.

• Dạng f(u)=f(v) — nếu f đơn điệu thì f(u)=f(v) \Leftrightarrow u=v. Ví dụ hàm f(t)=2^t+t đồng biến trên \mathbb{R} nên các phương trình có dạng f(u)=f(v) đưa về u=v.
• Cô lập tham số và tập giá trị — sau khi biến đổi về m=h(x) trên điều kiện xác định, tìm miền giá trị của h để suy ra các giá trị nguyên của m. Với lôgarit, cần nhớ \log_9 x^2=\log_3|x|.
• Tích bằng không và điều kiện căn — phương trình A\cdot B=0 tương đương A=0 hoặc B=0, nhưng nghiệm phải thỏa điều kiện xác định, kể cả điều kiện biểu thức dưới căn không âm. Nghiệm trùng nhau phải đếm một lần.
• Điều kiện xác định chứa tham số — khi tham số nằm trong đối số của lôgarit, phải đặt điều kiện đối số dương trước rồi mới xét nghiệm.
• Bất phương trình đúng với mọi giá trị — nếu bất đẳng thức phải đúng với mọi a>0, đặt t=\log_2 a để đưa về bất phương trình đúng với mọi t\in\mathbb{R}, từ đó suy ra điều kiện cho x,y. Khi đó biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất thường được xử lý bằng hình học (khoảng cách đến đường tròn).
• Số nghiệm bằng số giao điểm — để phương trình có đúng một nghiệm trên một đoạn, xét đơn điệu từng nửa đoạn của hàm K(x), rồi đếm các giá trị nguyên của tham số y thỏa mãn.

Phương trình lôgarit cơ bản

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng \log_a f(x)=b với a>0, a\ne 1. Theo định nghĩa, \log_a f(x)=b \Leftrightarrow f(x)=a^b, với điều kiện f(x)>0. Điều kiện này là bắt buộc: nghiệm tìm được phải kiểm tra lại với điều kiện xác định trước khi kết luận.

Các đẳng thức thường dùng: \log_a 1=0, \log_a a=1, và \log_a f=\log_a g \Leftrightarrow f=g>0. Khi phương trình có số hạng hằng số, có thể viết hằng số dưới dạng lôgarit cùng cơ số để gộp, ví dụ 1=\log_3 3.

• Định nghĩa lôgarit — \log_a f(x)=b \Leftrightarrow f(x)=a^b với f(x)>0. Ví dụ \log_2(x-1)=3 \Leftrightarrow x-1=2^3=8, và x=9 thỏa điều kiện x-1>0.
• Phương trình \log_3(5x)=2 — điều kiện 5x>0, rồi 5x=3^2=9, suy ra x=\frac95. Phải chia cho hệ số trước x khi giải.
• Đơn vị của lôgarit — \log_a 1=0 với mọi cơ số a hợp lệ, nên \log_{\frac12}(2x-1)=0 \Leftrightarrow 2x-1=1.
• Lôgarit của tích — \log_3(3x)=2 \Leftrightarrow 3x=3^2=9, với điều kiện x>0.
• Gộp hằng số vào lôgarit — viết 1=\log_3 3 để đưa phương trình về dạng \log_3[3(x+1)]=\log_3(4x+1), rồi giải 3x+3=4x+1 và kiểm tra điều kiện xác định đồng thời của cả hai vế.

Bất phương trình lôgarit

Hàm y=\log_a t đơn điệu trên (0;+\infty): đồng biến khi a>1 và nghịch biến khi 0<a<1. Vì vậy với f,g>0 ta có quy tắc:

• Nếu a>1 thì \log_a f\ge \log_a g \Leftrightarrow f\ge g, chiều giữ nguyên.
• Nếu 0<a<1 thì \log_a f\ge \log_a g \Leftrightarrow f\le g, chiều bị đổi.

Luôn phải đặt điều kiện f>0, g>0 trước, rồi lấy giao của tập nghiệm với điều kiện.

• Chiều bất đẳng thức khi cơ số lớn hơn 1 — với b,c>0 và cơ số 5>1, \log_5 b\ge\log_5 c \Leftrightarrow b\ge c.
• Giao với điều kiện xác định — bất phương trình \log_3(2x)\ge\log_3 2 cho 2x\ge 2, tức x\ge 1, rồi kết hợp với x>0 để có tập nghiệm [1;+\infty). Bất đẳng thức không chặt nên điểm biên được lấy.
• Cơ số nhỏ hơn 1 — với cơ số \frac12<1, \log_{\frac12}(x+1)>-1 \Leftrightarrow x+1<\left(\frac12\right)^{-1}=2, nên chiều bất đẳng thức bị đổi. Kết hợp với x+1>0 để được khoảng nghiệm.
• Bất phương trình lôgarit chứa biến nguyên — với các bài đếm số nguyên, đưa về bất phương trình theo một biến đại diện, đánh giá tính đơn điệu của hàm để xác định khoảng giá trị, rồi đếm số nguyên thỏa mãn. Cần chú ý điều kiện x+y>0 và x^2+y>0 trước khi xét.

Bất phương trình mũ–lôgarit đếm nghiệm nguyên

Dạng bài này có tích hoặc thương của nhiều biểu thức mũ và lôgarit, yêu cầu tập nghiệm có dấu xác định. Phương pháp chuẩn là xét dấu từng thừa số riêng, lập bảng xét dấu, rồi tổng hợp tập nghiệm, sau đó đếm số nguyên trong tập đó. Cần nhớ rằng tích A\cdot B<0 đổi dấu khi một trong hai thừa số đổi dấu, và các điểm làm một thừa số bằng 0 thường được kiểm tra riêng.

• Dấu của hiệu hai lũy thừa — 3^{u}-3^{v} cùng dấu với u-v vì 3^t đồng biến. Ví dụ 3^{x^2}-9^x=3^{x^2}-3^{2x} cùng dấu với x^2-2x, nên xét dấu biểu thức bậc hai này.
• Đếm nghiệm nguyên theo tham số — với bất phương trình (3^b-3)(a\cdot 2^b-16)<0, xét dấu 3^b-3 theo b, rồi tìm điều kiện của a để thừa số còn lại đổi dấu đúng hai lần theo b nguyên.
• Đặt biến phụ bậc hai trong lôgarit — với t=\log_3 x, biểu thức \log_3^2 x-7\log_3 x+6=(t-1)(t-6), và tích với 7^x-49 cần được xét dấu từng khoảng. Cần loại các điểm làm tích bằng 0.
• Lấy lôgarit hai vế — với a>1, lấy lôgarit cơ số 5 hai vế của bất phương trình mũ có a và 25, đưa về bất phương trình tích (b+2)(b-\log_5 a)<0. Số nguyên b thỏa mãn là các số trong khoảng giữa hai nghiệm, và cần đếm để biết điều kiện theo a.