Lũy thừa, mũ và lôgarit

Tính chất lôgarit

Với a>0, a\ne 1 và x,y>0, cần thuộc các tính chất sau để biến đổi biểu thức lôgarit:

• Lôgarit của tích — \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y. Lôgarit của tích là tổng các lôgarit, không phải tích của chúng. Ví dụ: \log_2(8\cdot 4)=\log_2 8+\log_2 4=5.
• Lôgarit của thương — \log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y. Ví dụ: \log_5\dfrac{y}{2}=\log_5 y-\log_5 2.
• Lôgarit của lũy thừa — \log_a x^{n}=n\log_a x. Ví dụ: \log_7 x^4=4\log_7 x.
• Đổi cơ số khi cơ số là lũy thừa — \log_{a^{\alpha}}x^{\beta}=\dfrac{\beta}{\alpha}\log_a x với \alpha\ne 0. Ví dụ: \log_{a^3}x=\dfrac{1}{3}\log_a x. Hệ số \dfrac{1}{\alpha} được nhân vào, không được cộng vào.
• Lôgarit của căn và của cơ số — \log_a\sqrt[n]{x}=\dfrac{1}{n}\log_a x và \log_a a=1. Ví dụ: \log_a\sqrt[3]{a^2}=\dfrac{2}{3}.
• Lôgarit cơ số 10 — \log 100=2 vì 10^2=100, nên \log(100a)=2+\log a.
• Cơ số nghịch đảo — \log_{\frac{1}{a}}x=-\log_a x. Ví dụ: \log_{\frac{1}{2}}x=-\log_2 x.
• Lũy thừa triệt tiêu lôgarit — a^{\log_a x}=x với x>0, và 2^{\log_2 t}=t. Từ đó 4^{\log_2 t}=\left(2^{\log_2 t}\right)^2=t^2. Ví dụ: 3^{\log_3 5}=5.
• Gộp các lôgarit cùng cơ số — m\log_a x+n\log_a y=\log_a(x^m y^n). Ví dụ: 2\log_3 x+\log_3 y=\log_3(x^2y). Khi đề cho \log_a(\text{biểu thức}) bằng một số, ta suy ra biểu thức đó bằng a mũ số đó.
• Dùng tính đồng biến để giải phương trình — Nếu g(s)=\log_3 s+s đồng biến trên (0;+\infty) thì g(u)=g(v) kéo theo u=v. Muốn đưa về dạng này, dùng \log_3(3w)=\log_3 w+1.

Đổi cơ số lôgarit

Với a,b,c>0, a\ne 1, c\ne 1, công thức đổi cơ số là \log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}. Từ đó suy ra các hệ quả hay dùng:

• Nghịch đảo — \log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}, hay \log_a b\cdot\log_b a=1.
• Cơ số là căn — \log_{\sqrt a}a=\dfrac{1}{\frac12}\log_a a=2, vì \sqrt a=a^{\frac12}.
• Cơ số là tích — \log_{ab}x=\dfrac{1}{\log_x(ab)}=\dfrac{1}{\log_x a+\log_x b}. Khi đổi về cơ số a: \log_{ab}a=\dfrac{1}{1+\log_a b}, vì \log_a(ab)=1+\log_a b.
• Đổi về logarit tự nhiên — \log_X Y=\dfrac{\ln Y}{\ln X}. Cách này giúp đưa các biểu thức có nhiều cơ số khác nhau về cùng một dạng, sau đó dùng bất đẳng thức AM-GM (x+y\ge 2\sqrt{xy} với x,y>0, dấu bằng khi x=y) để tìm dấu bằng.

Lưu ý: \log_a b và \log_b a là hai số nghịch đảo của nhau, không bằng nhau; đổi cơ số không cộng thêm hằng số mà chỉ nhân hoặc chia.

Tập xác định hàm lôgarit

Hàm số y=\log_a u(x) với a>0, a\ne 1 xác định khi và chỉ khi u(x)>0. Điều này áp dụng cho cả trường hợp u(x) là đa thức hay phân thức.

• Biểu thức bậc nhất — với \log_6 x thì điều kiện là x>0, tập xác định là (0;+\infty), đầu mút 0 bị loại.
• Biểu thức bậc nhất có hệ số — với \log_2(x-1) thì điều kiện là x-1>0, nên x>1.
• Phân thức — với \log_2\dfrac{x+1}{x-2} thì cần \dfrac{x+1}{x-2}>0. Dùng bảng xét dấu: nghiệm là x<-1 hoặc x>2, tức (-\infty;-1)\cup(2;+\infty). Điểm làm mẫu bằng 0 bị loại, điểm làm tử bằng 0 cũng bị loại vì \log 0 không xác định.

Tập xác định hàm lũy thừa

Tập xác định của hàm lũy thừa y=x^{\alpha} phụ thuộc vào số mũ \alpha theo chương trình Toán phổ thông Việt Nam:

• \alpha nguyên dương — tập xác định là \mathbb{R}.
• \alpha nguyên âm hoặc bằng 0 — tập xác định là \mathbb{R}\setminus\{0\}.
• \alpha không nguyên — tập xác định là (0;+\infty).

Với hàm dạng y=[u(x)]^{\alpha} và \alpha không nguyên, điều kiện là u(x)>0. Chú ý số mũ dạng \dfrac{1}{3} hay \dfrac{3}{2} đều là số mũ không nguyên, nên cơ số phải dương ngay cả khi có căn bậc lẻ. Ví dụ: y=(2x+1)^{\sqrt2} xác định khi x>-\dfrac12.

Bài toán lãi kép

Khi gửi số tiền A với lãi suất r mỗi kỳ và lãi được nhập vào vốn ở mỗi kỳ, sau n kỳ số tiền thu được là A(1+r)^n. Phân biệt với lãi đơn A(1+nr).

• Tìm số kỳ nhỏ nhất — để số tiền đạt ít nhất k lần vốn, cần (1+r)^n\ge k, tức n\ge \dfrac{\log k}{\log(1+r)}. Lấy số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn.
• Đơn vị kỳ — lãi suất và số kỳ phải cùng đơn vị (năm, quý hay tháng).
• Tăng trưởng theo phần trăm mỗi năm — nếu một đại lượng tăng r\% so với năm trước thì các giá trị theo năm lập thành cấp số nhân với công bội 1+r, nên giá trị sau n năm là u_0(1+r)^n. Cần xác định đúng mốc năm gốc tương ứng với n=0 khi đếm số năm.

Đạo hàm hàm số mũ

Với a>0, a\ne 1:

• Hàm mũ cơ bản — (a^x)'=a^x\ln a. Đặc biệt (e^x)'=e^x. Ví dụ: (4^x)'=4^x\ln 4.
• Hàm mũ hợp — (a^{u})'=u'\,a^{u}\ln a. Ví dụ: (3^{x^2})'=2x\cdot 3^{x^2}\ln 3. Hai lỗi thường gặp là quên nhân u' và quên nhân \ln a.
• Phân biệt với nguyên hàm — \dfrac{a^x}{\ln a} là một nguyên hàm của a^x, không phải đạo hàm của nó.

Đạo hàm hàm số lũy thừa

Với x>0 và \alpha là số thực bất kỳ, (x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}. Hệ số của đạo hàm là số mũ cũ, số mũ mới bằng số mũ cũ trừ 1. Ví dụ: (x^{-2})'=-2x^{-3}.

Với hàm hợp (u^{\alpha})'=\alpha u^{\alpha-1}u'. Cần viết số mũ \alpha-1 đúng dấu, không đổi dấu khi trừ.

Tập xác định hàm mũ

Hàm mũ y=a^x với a>0, a\ne 1 có tập xác định là \mathbb{R}, vì số mũ x là số thực tùy ý và biểu thức a^x luôn có nghĩa, kể cả khi x=0 (lúc đó a^0=1). Tập giá trị của hàm mũ là (0;+\infty), hàm luôn dương. Không nhầm tập giá trị với tập xác định.

So sánh lũy thừa cùng cơ số

Để so sánh a^m và a^n với cùng cơ số a>0:

• Nếu a>1 thì a^m<a^n \iff m<n, hàm mũ đồng biến.
• Nếu 0<a<1 thì a^m<a^n \iff m>n, hàm mũ nghịch biến, chiều bất đẳng thức đảo lại.

Khi số mũ là số vô tỉ, so sánh các số mũ như so sánh các số thực thông thường, ví dụ đặt số hữu tỉ làm trung gian hoặc bình phương hai vế. Ví dụ: với 5^{\sqrt2} và 5^{1{,}5} thì \sqrt2<1{,}5 nên 5^{\sqrt2}<5^{1{,}5}.

Đạo hàm hàm số lôgarit

Với a>0, a\ne 1 và u(x)>0:

• (\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}.
• (\log_a u)'=\dfrac{u'}{u\ln a}. Ví dụ: (\log_3(x^2+1))'=\dfrac{2x}{(x^2+1)\ln 3}.
• (\ln u)'=\dfrac{u'}{u} là trường hợp riêng khi a=e.