Vectơ và mặt phẳng, đường thẳng trong Oxyz

Phương trình đường thẳng trong không gian

Đường thẳng d trong không gian Oxyz được xác định khi biết một điểm M_0(x_0;y_0;z_0) thuộc d và một vectơ chỉ phương \vec u=(a;b;c)\neq\vec 0, tức vectơ song song hoặc nằm trên d. Mọi vectơ k\vec u với k\neq 0 cũng là vectơ chỉ phương của cùng đường thẳng đó.

Phương trình tham số: \begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}, t\in\mathbb R. Mỗi giá trị t cho một điểm của d, và M_0 ứng với t=0. Ví dụ, đường thẳng đi qua P(-1;0;5) có vectơ chỉ phương (2;-1;4) là x=-1+2t, y=-t, z=5+4t.

Phương trình chính tắc: \dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c} (khi abc\neq 0). Tọa độ điểm lấy từ tử số và đổi dấu, còn vectơ chỉ phương lấy từ mẫu số và giữ nguyên dấu. Ví dụ \dfrac{x+2}{3}=\dfrac{y-1}{-4}=\dfrac{z}{5} đi qua (-2;1;0) với \vec u=(3;-4;5). Nếu một mẫu bằng 0, chẳng hạn a=0, thì phương trình viết thành x=x_0.

Kiểm tra điểm có thuộc đường thẳng không: với dạng chính tắc, thay tọa độ điểm vào và kiểm tra ba tỉ số có bằng nhau không; với dạng tham số, phải tìm được cùng một t thỏa mãn cả ba phương trình. Ví dụ (3;-4;4) thuộc \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+3}{-1}=\dfrac{z}{4} vì cả ba tỉ số đều bằng 1.

Lấy vectơ chỉ phương từ dữ kiện đề bài:

• Đường thẳng đi qua hai điểm A, B: \vec u=\overrightarrow{AB}=B-A, tức lấy tọa độ điểm sau trừ tọa độ điểm đầu. Ví dụ A(1;0;2) và B(4;1;-2) cho \overrightarrow{AB}=(3;1;-4).
• Đường thẳng song song với d: dùng lại vectơ chỉ phương của d.
• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P): lấy vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương.
• Đường thẳng đi qua M với vectơ chỉ phương \vec u cho trước: thay trực tiếp vào công thức, không đổi dấu của \vec u.

Đọc vectơ chỉ phương từ phương trình đã cho: với dạng chính tắc, lấy các số ở mẫu số; với dạng tham số, lấy hệ số của t trong ba phương trình.

Vectơ đơn vị và góc với các trục: nếu \vec u=(a;b;c) là vectơ đơn vị và \alpha,\beta,\gamma là góc của \vec u với \vec i,\vec j,\vec k thì \vec u=(\cos\alpha;\cos\beta;\cos\gamma), nên \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1. Công thức này chỉ dùng khi |\vec u|=1.

Đường thẳng song song với trục: đường thẳng song song với Oz có vectơ chỉ phương (0;0;1) nên có dạng x=a, y=b, còn z tự do. Khoảng cách từ điểm A(x_A;y_A;z_A) đến đường thẳng này bằng \sqrt{(x_A-a)^2+(y_A-b)^2}, và khoảng cách từ A đến trục Oz bằng \sqrt{x_A^2+y_A^2}.

Đường thẳng nằm trong mặt phẳng song song với (Oxy): nếu thành phần thứ ba của vectơ chỉ phương bằng 0 thì z không đổi và bằng cao độ của điểm đi qua. Vì vậy khi xét đường thẳng qua hai điểm, phải kiểm tra cao độ của cả hai điểm trước khi viết phương trình.

Phương trình mặt phẳng

Mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát Ax+By+Cz+D=0 với A^2+B^2+C^2>0; khi đó \vec n=(A;B;C) là một vectơ pháp tuyến của (P). Mặt phẳng đi qua M_0(x_0;y_0;z_0) và có vectơ pháp tuyến \vec n=(A;B;C) có phương trình A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0. Khai triển ra ta được D=-(Ax_0+By_0+Cz_0).

Kiểm tra điểm có thuộc mặt phẳng không: thay tọa độ điểm vào vế trái của phương trình. Kết quả bằng 0 thì điểm thuộc mặt phẳng, khác 0 thì không thuộc. Ví dụ (1;-2;3) thuộc 2x-y+z-7=0 vì 2+2+3-7=0.

Các dạng lập phương trình thường gặp:

• Mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng d: vectơ pháp tuyến là vectơ chỉ phương của d, sau đó viết theo công thức qua điểm.
• Mặt phẳng trung trực của đoạn AB: đi qua trung điểm I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2}\right) và nhận \overrightarrow{AB} làm vectơ pháp tuyến. Không nhầm với mặt phẳng chỉ đi qua A và vuông góc với AB.
• Mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với AB: vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{AB}, đi qua điểm đã cho.
• Mặt phẳng theo đoạn chắn: \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1 với a,b,c\neq 0, trong đó a,b,c lần lượt là hoành độ, tung độ, cao độ giao điểm với các trục Ox, Oy, Oz. Các số a,b,c có thể âm.
• Mặt phẳng qua giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng: thay phương trình tham số của đường thẳng vào phương trình mặt phẳng, giải tìm t, rồi thay t vào phương trình đường thẳng để có tọa độ giao điểm.
• Mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng (P): vectơ pháp tuyến là tích có hướng của \overrightarrow{MN} và vectơ pháp tuyến của (P).
• Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ: vì O thuộc mặt phẳng nên hệ số tự do D=0. Ví dụ -x+3z=0 là mặt phẳng qua O.
• Mặt phẳng tọa độ: (Oxy) có phương trình z=0, (Oxz) có phương trình y=0, (Oyz) có phương trình x=0.
• Mặt phẳng chứa trục Oy: vì chứa trục Oy nên hệ số B=0, và vì đi qua O nên D=0. Khi đó phương trình có dạng Ax+Cz=0 với A^2+C^2>0.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Vectơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (P) là vectơ \vec n\neq\vec 0 có giá vuông góc với (P), tức vuông góc với mọi vectơ nằm trong (P). Mọi vectơ k\vec n với k\neq 0 cũng là VTPT của cùng mặt phẳng đó. VTPT không phải là một điểm thuộc mặt phẳng.

Đọc VTPT từ phương trình: với Ax+By+Cz+D=0, VTPT là (A;B;C). Phải lấy hệ số của x, y, z và giữ nguyên dấu, không lấy hệ số tự do D. Ví dụ 2x-y+3z+4=0 có VTPT (2;-1;3). Lỗi hay gặp là bỏ sót dấu âm hoặc đổi chỗ các thành phần.

VTPT của các mặt phẳng tọa độ: (Oxy) có VTPT \vec k=(0;0;1); (Oxz) có VTPT \vec j=(0;1;0); (Oyz) có VTPT \vec i=(1;0;0).

VTPT khi biết hai vectơ không cùng phương nằm trong mặt phẳng: nếu \vec a=(a_1;a_2;a_3) và \vec b=(b_1;b_2;b_3) không cùng phương và cùng song song với mặt phẳng, một VTPT là tích có hướng \vec n=\vec a\wedge\vec b=(a_2b_3-a_3b_2;\ a_3b_1-a_1b_3;\ a_1b_2-a_2b_1). Ví dụ với \vec a=(1;0;2) và \vec b=(0;1;-1) ta có \vec n=(-2;1;1), vì \vec n\cdot\vec a=0 và \vec n\cdot\vec b=0. Với mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C không thẳng hàng, ta dùng \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{AC}.

VTPT khi mặt phẳng vuông góc với đường thẳng hoặc chứa đường thẳng: nếu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d thì VTPT của mặt phẳng cùng phương với vectơ chỉ phương của d. Ngược lại, khi mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì VTPT của hai mặt phẳng vuông góc với nhau, tức tích vô hướng của chúng bằng 0.

Mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng: nếu mặt phẳng vuông góc với đoạn AB thì \overrightarrow{AB} là một VTPT. Vectơ này được dùng cho cả mặt phẳng qua điểm A lẫn mặt phẳng trung trực.

Quan hệ song song: hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau khi hai VTPT của chúng cùng phương, và nếu có một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng thì VTPT của mặt phẳng đó là vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Tọa độ vectơ và điểm trong Oxyz

Trong không gian Oxyz, mỗi vectơ \vec a được viết dưới dạng bộ ba số \vec a=(a_1;a_2;a_3), gọi là tọa độ của vectơ. Với điểm A(x_A;y_A;z_A) và gốc tọa độ O(0;0;0), ta có \overrightarrow{OA}=(x_A;y_A;z_A), tức tọa độ của \overrightarrow{OA} đúng bằng tọa độ của điểm A.

Với hai điểm A và B, tọa độ vectơ \overrightarrow{AB} bằng tọa độ điểm ngọn trừ tọa độ điểm gốc: \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\,y_B-y_A;\,z_B-z_A). Lỗi thường gặp là cộng tọa độ hai điểm thay vì trừ. Đổi chiều vectơ thành \overrightarrow{BA} thì mọi thành phần đổi dấu.

Các phép toán vectơ được làm theo từng thành phần: \vec a\pm\vec b=(a_1\pm b_1;\,a_2\pm b_2;\,a_3\pm b_3) và k\vec a=(ka_1;\,ka_2;\,ka_3). Khi trừ hoặc nhân với số âm, cần chú ý đổi dấu đúng từng thành phần.

• Ví dụ: \vec a=(1;0;2), \vec b=(-1;3;1) thì \vec a-2\vec b=(1+2;\,0-6;\,2-2)=(3;-6;0).

Mặt phẳng (Oxy) gồm các điểm có cao độ z=0, nên điểm (x;y;z) thuộc (Oxy) khi và chỉ khi z=0. Tương tự, (Oyz) là tập hợp các điểm có x=0 và (Oxz) là các điểm có y=0.

Phép lấy đối xứng qua (Oxy) đổi dấu cao độ: điểm đối xứng của A(x;y;z) qua (Oxy) là A'(x;y;-z). Khi đó với mọi điểm M thuộc (Oxy) thì AM=A'M, nên có thể thay khoảng cách từ A bằng khoảng cách từ A'.

Hình chiếu điểm lên trục tọa độ

Hình chiếu vuông góc của điểm M(x;y;z) lên một trục tọa độ chỉ giữ lại thành phần ứng với trục đó, các thành phần còn lại đặt bằng 0. Cụ thể, hình chiếu lên trục Ox là (x;0;0), lên trục Oy là (0;y;0) và lên trục Oz là (0;0;z).

Khi hình chiếu lên trục Oz, cao độ được giữ nguyên, còn hoành độ và tung độ bằng 0.

Cần phân biệt hình chiếu lên trục với hình chiếu lên mặt phẳng tọa độ. Hình chiếu lên mặt phẳng (Oxy) là (x;y;0), giữ hai thành phần x và y; trong khi hình chiếu lên trục Oz chỉ giữ thành phần z.

• Ví dụ: với M(-3;4;7), hình chiếu lên Oy là (0;4;0), hình chiếu lên trục Ox là (-3;0;0) và hình chiếu lên (Oxz) là (-3;0;7).

Quan hệ vectơ trong hình không gian

Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng phương, cùng hướng và cùng độ dài. Trong hình hộp, hình lập phương hay hình bình hành, các cạnh song song và cùng chiều thì bằng nhau. Ví dụ trong hình lập phương, \overrightarrow{B'C'}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}. Các vectơ cạnh vuông góc với nhau thì không bằng nhau, dù có cùng độ dài.

Điểm M là trung điểm của AB khi và chỉ khi \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec 0. Với điểm S bất kỳ và M là trung điểm AB thì \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}=2\overrightarrow{SM}.

Trong hình chóp tứ giác đều, đáy là hình vuông và tâm đáy là giao điểm hai đường chéo, nên tâm này là trung điểm của mỗi đường chéo. Vì vậy, với đỉnh S ta có \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SO} và \overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SO}, cộng lại được \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=4\overrightarrow{SO}.

Đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước

Đường thẳng \Delta vuông góc với hai đường thẳng d_1, d_2 cho trước khi vectơ chỉ phương của \Delta vuông góc với cả hai vectơ chỉ phương \vec u_1, \vec u_2. Nếu \vec u_1=(a_1;a_2;a_3) và \vec u_2=(b_1;b_2;b_3) không cùng phương thì vectơ \vec u=\vec u_1\times\vec u_2=(a_2b_3-a_3b_2;\,a_3b_1-a_1b_3;\,a_1b_2-a_2b_1) vuông góc với cả hai.

Sau khi có vectơ chỉ phương \vec u, đường thẳng đi qua điểm M(x_0;y_0;z_0) có phương trình tham số x=x_0+ut, y=y_0+vt, z=z_0+wt với \vec u=(u;v;w). Có thể rút gọn \vec u bằng cách chia cho ước chung của các thành phần, miễn là không đổi phương.

Để kiểm tra, tích vô hướng của vectơ chỉ phương của đường thẳng với mỗi vectơ chỉ phương của d_1, d_2 phải bằng 0.

• Ví dụ: \vec u_1=(1;0;2) và \vec u_2=(0;1;1) có \vec u_1\times\vec u_2=(0\cdot1-2\cdot1;\,2\cdot0-1\cdot1;\,1\cdot1-0\cdot0)=(-2;-1;1), và tích vô hướng với cả hai đều bằng 0.

Đường phân giác của góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm A tạo thành các góc, và phân giác của góc giữa hai đường thẳng luôn đi qua A. Với vectơ chỉ phương \vec u và \vec v, vectơ \dfrac{\vec u}{|\vec u|}+\dfrac{\vec v}{|\vec v|} là vectơ chỉ phương của phân giác góc tạo bởi hai vectơ đó, còn \dfrac{\vec u}{|\vec u|}-\dfrac{\vec v}{|\vec v|} là vectơ chỉ phương của phân giác góc còn lại.

Để lấy phân giác của góc nhọn giữa hai đường thẳng, ta chọn cặp vectơ có tích vô hướng dương. Nếu \vec u\cdot\vec v>0 thì dùng \vec u và \vec v; nếu \vec u\cdot\vec v<0 thì thay \vec v bằng -\vec v. Lỗi thường gặp là lấy nhầm phân giác của góc tù.