Đơn điệu, cực trị và GTLN–GTNN

Khoảng đơn điệu của hàm số

Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng K thì đồng biến trên K khi f'(x)>0 với mọi x\in K (cho phép f'(x)=0 tại hữu hạn điểm), và nghịch biến trên K khi f'(x)<0 với mọi x\in K. Vì vậy cách làm chuẩn là lập bảng xét dấu f'(x) rồi chọn khoảng mà dấu của f'(x) không đổi.

Các điểm cần nhớ:

• Khoảng đơn điệu không được chứa điểm mà f'(x) đổi dấu. Nếu f' đổi dấu qua một điểm thì khoảng chứa điểm đó không đơn điệu. Ví dụ y=x^2 đồng biến trên (0;+\infty) và nghịch biến trên (-\infty;0) nhưng không đơn điệu trên (-1;1).
• Đọc khoảng từ bảng biến thiên. Trên bảng biến thiên, mũi tên đi lên nghĩa là f'(x)>0 và hàm số đồng biến; mũi tên đi xuống nghĩa là hàm số nghịch biến. Với bảng có nhiều đoạn, phải tìm đúng đoạn có mũi tên đi lên.
• Đọc khoảng từ đồ thị. Khi di chuyển từ trái sang phải, đoạn đồ thị đi xuống tương ứng với khoảng nghịch biến, đoạn đi lên tương ứng với khoảng đồng biến.
• Đạo hàm cho bằng công thức hoặc tích các nhân tử. Với f'(x)=x+1 thì f'(x)<0 khi x<-1, nên hàm số nghịch biến trên (-\infty;-1). Với f'(x)=2-x thì hàm số đồng biến trên (-\infty;2). Nếu f'(x)=(x-a)(x-b) thì dấu của f' được xác định bằng cách xét các khoảng nằm giữa các nghiệm a, b; ví dụ f'(x)=x(x-4) âm trên (0;4).
• Đạo hàm bậc ba và nghiệm của f'. Nghiệm của f'(x)=0 chia trục số thành các khoảng, dấu của f' xen kẽ trên các khoảng đó. Khi f'(x)=3x^2-27, hai nghiệm \pm 3 tạo ra ba khoảng đơn điệu xen kẽ.
• Hàm phân thức và hàm có mẫu. Khi tính f' bằng quy tắc thương, mẫu luôn dương nên dấu của f' là dấu của tử. Ví dụ y=\dfrac{2}{x^2+1} có y'=\dfrac{-4x}{(x^2+1)^2}, nên dấu của y' là dấu của -x.
• Hàm có tập xác định giới hạn. Với hàm căn \sqrt{u(x)}, khoảng đơn điệu phải nằm trong tập xác định u(x)\ge 0.
• Đạo hàm luôn dương trên \mathbb{R}. Nếu f'(x)=3x^2+3\ge 3>0 với mọi x thì hàm số đồng biến trên toàn bộ \mathbb{R}, không có khoảng nghịch biến.
• Đồ thị của f' và so sánh giá trị. Nếu cho đồ thị y=f'(x) và đặt h(x)=2f(x)-x^2 thì h'(x)=2\big(f'(x)-x\big). Dấu của h' là dấu của phần đồ thị f' nằm trên hay dưới đường thẳng y=x, từ đó suy ra thứ tự các giá trị của h.
• Dùng đơn điệu để so sánh giá trị. Nếu f nghịch biến trên [0;4] thì với 0<2<4 ta có f(0)>f(2). Khi đã biết f nghịch biến trên một khoảng, bất đẳng thức giữa hai giá trị của f tại hai điểm thuộc khoảng đó được quy về bất đẳng thức giữa hai điểm.

GTLN–GTNN trên đoạn

Hàm số liên tục trên đoạn [a;b] luôn đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là số lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị f(a), f(b) và f(x_0), với x_0 là nghiệm của f'(x)=0 nằm trong khoảng (a;b).

Các điểm cần nhớ:

• Chỉ xét điểm tới hạn nằm trong đoạn. Nghiệm của f'(x)=0 nằm ngoài đoạn đang xét không được đưa vào so sánh.
• Cực trị không đồng nghĩa với GTLN hoặc GTNN trên đoạn. Giá trị cực đại có thể nhỏ hơn giá trị tại đầu mút, và giá trị cực tiểu có thể lớn hơn giá trị tại đầu mút. Vì vậy luôn phải so sánh với các đầu mút.
• Điểm tới hạn có thể là số vô tỷ. Khi nghiệm của f'(x)=0 là số vô tỷ nằm trong đoạn, vẫn tính giá trị f tại điểm đó rồi so sánh, có thể dùng ước lượng thập phân để so sánh nhanh.
• Đề hỏi điểm, không hỏi giá trị. Khi đề yêu cầu tìm điểm mà tại đó hàm số đạt GTLN hoặc GTNN, phải xác định x tương ứng với giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất đã tìm được.
• Quy về bất phương trình. Nếu m là giá trị nhỏ nhất của f trên đoạn thì bất phương trình f(x)\le m có nghiệm trên đoạn đó khi và chỉ khi m lớn hơn hoặc bằng giá trị nhỏ nhất của f trên đoạn. Với hàm bậc bốn đạt GTNN trên \mathbb{R}, hệ số bậc cao nhất dương và các cực trị có thể được xác định từ đề bài.
• Ví dụ. Với f(x)=x^3-3x trên [-2;2], f'(x)=0 khi x=\pm 1, và f(-2)=-2, f(-1)=2, f(1)=-2, f(2)=2. Vậy GTLN bằng 2 và GTNN bằng -2.

Cực trị từ bảng biến thiên

Hàm số đạt cực trị tại x_0 khi f'(x) đổi dấu khi đi qua x_0. Nếu f' đổi dấu từ dương sang âm thì x_0 là điểm cực đại; nếu đổi từ âm sang dương thì x_0 là điểm cực tiểu. Nếu f' không đổi dấu qua x_0 thì x_0 không phải điểm cực trị, kể cả khi f'(x_0)=0.

Các điểm cần nhớ:

• Phân biệt điểm cực trị và giá trị cực trị. Điểm cực đại (cực tiểu) là hoành độ x_0, còn giá trị cực đại (cực tiểu) là f(x_0). Đề thường hỏi một trong hai, cần đọc kỹ.
• Hàm liên tục nhưng không có đạo hàm tại một điểm. Nếu f liên tục tại x_0, f' không xác định tại x_0 nhưng f' đổi dấu qua x_0 thì x_0 vẫn là điểm cực trị. Ví dụ hàm y=|x| đạt cực tiểu tại x=0.
• Đếm cực trị của hàm hợp. Với g(x)=f(u(x)) thì g'(x)=u'(x)\,f'(u(x)). Số điểm cực trị của g được đếm qua số nghiệm đơn của g'(x)=0, gồm nghiệm của u'(x)=0 (khi f'(u(x))\ne 0) và nghiệm của f'(u(x))=0.

Số nghiệm phương trình từ đồ thị

Số nghiệm của phương trình f(x)=k bằng số giao điểm của đồ thị y=f(x) với đường thẳng nằm ngang y=k. Nếu phương trình có dạng a f(x)+b=0 thì đưa về f(x)=-\dfrac{b}{a} rồi đếm giao điểm.

Các điểm cần nhớ:

• Đếm theo từng khoảng đơn điệu. Trên mỗi khoảng đơn điệu, đường thẳng y=k cắt đồ thị không quá một lần, nên đếm số khoảng mà miền giá trị của f chứa k. Khi dùng bảng biến thiên nhiều đoạn, phải xét từng đoạn, không bỏ sót đoạn nào.
• Hàm bậc ba với hai cực trị. Nếu k nằm strictly giữa giá trị cực tiểu và giá trị cực đại thì đường thẳng cắt đồ thị tại ba điểm; nếu k bằng một trong hai giá trị cực trị thì chỉ có hai nghiệm phân biệt.
• Phương trình hợp với |f(t)|=k. Ta có |f(t)|=k khi và chỉ khi f(t)=k hoặc f(t)=-k. Với t=x^3-3x: khi |t|<2 phương trình x^3-3x=t có ba nghiệm thực phân biệt, khi |t|=2 có hai nghiệm, khi |t|>2 có một nghiệm.
• Đặt ẩn phụ và đếm nghiệm theo khoảng. Với phương trình chứa f(u(x)), đặt t=u(x) rồi xác định miền giá trị của t khi x chạy trên khoảng đề bài. Nếu u(x)=(x-a)^2+c thì mỗi t>c cho hai nghiệm đối xứng qua x=a, và tổng của hai nghiệm này bằng 2a khi cả hai đều thuộc khoảng xét.

Đọc bảng biến thiên hàm số

Bảng biến thiên gồm ba phần: hàng biến x, hàng dấu của f'(x) và hàng biến thiên của f(x) với các mũi tên cùng giá trị tại các điểm đặc biệt. Khi f'(x)>0 trên một khoảng thì f đồng biến; khi f'(x)<0 thì f nghịch biến. Nếu f' đổi dấu từ âm sang dương tại x_0 thì x_0 là điểm cực tiểu; nếu đổi từ dương sang âm thì x_0 là điểm cực đại. Cần phân biệt điểm cực trị (hoành độ x_0) với giá trị cực trị f(x_0): câu hỏi về giá trị cực tiểu phải lấy f(x_0), không lấy x_0.

Các đường tiệm cận được đọc từ giới hạn ghi trong bảng. Nếu \lim_{x\to a^{\pm}} f(x)=\pm\infty thì đồ thị có tiệm cận đứng x=a; nếu \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=b hữu hạn thì có tiệm cận ngang y=b. Khi đếm tổng số tiệm cận, phải xét mọi giới hạn ở hai đầu và mọi điểm gián đoạn, không bỏ sót.

Số giao điểm của đồ thị y=f(x) với đường thẳng y=k bằng số nghiệm của phương trình f(x)=k. Trên mỗi khoảng đơn điệu, hàm số nhận giá trị k đúng một lần khi k nằm giữa hai giới hạn đầu mút của khoảng đó. Cần đếm theo từng khoảng rồi cộng lại, và chú ý khi k trùng với giá trị cực trị.

Từ bảng biến thiên có thể suy ra dạng hàm. Với hàm bậc ba y=ax^3+\dots, nếu a>0 thì y\to+\infty khi x\to+\infty, còn nếu a<0 thì y\to-\infty khi x\to+\infty. Với hàm bậc bốn, dấu của hệ số a quyết định hai đầu đồ thị cùng đi lên hay cùng đi xuống.

Khi g(x)=\ln f(x) thì g'(x)=\dfrac{f'(x)}{f(x)} và f(x)=e^{g(x)}, nên bảng biến thiên của g cho biết thông tin về f qua hàm mũ. Diện tích hình phẳng giữa hai đường cong bằng tích phân của |f-g| trên các đoạn giữa các giao điểm.

• điểm cực đại, cực tiểu — điểm mà f' đổi dấu. Ví dụ: f' đổi từ - sang + tại x=1 thì x=1 là cực tiểu.
• tiệm cận đứng — đường x=a mà y\to\pm\infty khi x\to a. Ví dụ: \lim_{x\to 2^-}y=-\infty thì x=2 là tiệm cận đứng.
• tiệm cận ngang — đường y=b với \lim_{x\to\pm\infty}y=b. Ví dụ: \lim_{x\to+\infty}y=0 thì y=0 là tiệm cận ngang.

GTLN–GTNN trong bài toán thực tế

Trình tự giải: chọn ẩn có điều kiện thực tế, lập hàm mục tiêu, xác định miền giá trị của ẩn theo điều kiện đề bài, khảo sát hàm số, rồi so sánh giá trị cực trị với giá trị tại các đầu mút. Nếu ẩn chỉ nhận giá trị nguyên thì phải kiểm tra các số nguyên lân cận nghiệm thực, vì giá trị lớn nhất thực chưa chắc đạt tại số nguyên.

Với bài toán hộp không nắp, diện tích vật liệu gồm diện tích đáy và diện tích các thành; từ ràng buộc diện tích, biểu diễn chiều cao theo ẩn rồi viết thể tích thành hàm một biến. Thể tích đạt cực đại tại nghiệm của đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm.

Lợi nhuận bằng doanh thu trừ tổng chi phí. Nếu chi phí bình quân cho mỗi sản phẩm là G(x) thì tổng chi phí là x\,G(x). Điều kiện lợi nhuận lớn hơn một mức cho trước dẫn đến bất phương trình bậc hai, và nghiệm của nó cho khoảng giá trị của x.

Bài toán tối ưu với hai ràng buộc bậc nhất: miền nghiệm là đa giác, biểu thức mục tiêu tuyến tính đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một đỉnh của đa giác. Nếu đỉnh có tọa độ nguyên thì giá trị tại đỉnh cũng là giá trị lớn nhất trên các nghiệm nguyên.

Tốc độ thay đổi của một đại lượng là đạo hàm của nó, nên lượng tích lũy từ thời điểm a đến b bằng \int_a^b f(t)\,dt. Khi biết hàm tốc độ và giá trị ban đầu, ta tìm được nguyên hàm rồi tính giá trị tại từng thời điểm; các mệnh đề so sánh tích lũy phải dựa trên hiệu F(b)-F(a).

Bài toán sản xuất với công suất giới hạn: lợi nhuận P(x) là hàm bậc ba, khảo sát đạo hàm để tìm cực đại, rồi so sánh với giá trị tại hai đầu mút của miền x.

• đầu mút — giá trị của hàm tại hai đầu đoạn phải được xét cùng với cực trị khi tìm GTLN, GTNN.
• ràng buộc nguyên — ẩn là số lượng sản phẩm, phải xét giá trị nguyên sát nghiệm thực.
• đỉnh của đa giác — điểm giao của hai đường biên, nơi biểu thức tuyến tính đạt cực trị.

GTLN–GTNN chứa tham số

Khi hàm số chứa tham số, cần khảo sát theo tham số: xét dấu đạo hàm (không phụ thuộc x hoặc phụ thuộc x) để biết hàm đơn điệu hay có cực trị trên đoạn đang xét. Với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, đạo hàm có dấu cố định trên mỗi khoảng xác định, nên giá trị nhỏ nhất trên đoạn không chứa điểm gián đoạn đạt tại một đầu mút.

Bất phương trình f(x)<x+m đúng với mọi x trong khoảng (a;b) khi và chỉ khi m\ge \sup_{(a;b)}\big(f(x)-x\big). Để tìm cận trên, đặt g(x)=f(x)-x, dùng g'(x)=f'(x)-1 để xét tính đơn điệu của g. Chú ý dấu bằng: nếu cận trên không đạt được thì m có thể bằng đúng cận đó.

Khi đổi biến t=x^2 với x\in[0;3], t chạy trên [0;9], và giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm bậc hai theo t có thể đạt tại đỉnh parabol nếu đỉnh nằm trong đoạn, hoặc tại đầu mút nếu không. Điều kiện đề bài cho giá trị lớn nhất tại một điểm cụ thể sẽ xác định tham số.

Với bài toán đếm số nguyên m, trước hết tìm tập m thỏa mãn điều kiện thực, sau đó đếm số nguyên trong tập đó, lưu ý các điểm biên có thuộc tập hay không.

• tham số — chữ m không phải biến; mọi kết luận phải đúng với tham số đã được xét.
• đầu mút — giá trị nhỏ nhất/lớn nhất thường nằm ở hai đầu đoạn khi hàm đơn điệu.
• supremum trên khoảng — cận trên đúng của hàm trên khoảng mở, có thể không đạt được.

Điều kiện cực trị của hàm đa thức

Với hàm đa thức, y' là đa thức và nghiệm của y' là ứng viên cực trị. Nghiệm bội lẻ của y' làm y' đổi dấu nên là cực trị; nghiệm bội chẵn không đổi dấu nên không phải cực trị. Nếu y' có dạng x^k\cdot(\dots) thì dấu của y' quanh x=0 phụ thuộc vào đa thức còn lại tại x=0 và số mũ k.

Ví dụ điển hình: f'(x)=x(x+2)^2 có nghiệm x=0 đơn và nghiệm x=-2 kép. Chỉ x=0 làm đổi dấu, nên hàm số chỉ có một cực trị.

Với hàm đa thức có tham số, cực trị tại x=0 phụ thuộc vào dấu của hệ số tự do của đa thức còn lại: khi hệ số này đổi dấu theo tham số, điểm x=0 có thể là cực tiểu, không phải cực trị, hoặc chuyển thành cực tiểu. Các giá trị đặc biệt của tham số (làm bậc thay đổi) phải xét riêng.

Với hàm y=|f(x)|, các điểm cực trị gồm nghiệm của f(x)=0 (là cực tiểu của |f|) và các cực trị của f tại đó f\ne 0. Từ đó đếm số cực trị theo tham số, lưu ý các trường hợp nghiệm trùng với điểm cực trị của f.

• nghiệm bội lẻ — làm đổi dấu đạo hàm, cho cực trị.
• nghiệm bội chẵn — không đổi dấu, không cho cực trị.
• hàm trị tuyệt đối — |f| có cực tiểu tại mọi nghiệm của f mà f đổi dấu hoặc chạm trục.

Đơn điệu của hàm hợp

Đạo hàm của hàm hợp: \big(f(u(x))\big)'=f'(u(x))\cdot u'(x). Với y=f(ax+b) thì y'=a\,f'(ax+b), nên hệ số a<0 đảo chiều đơn điệu. Ví dụ y=f(3-2x) có y'=-2f'(3-2x), nghịch biến khi f'(3-2x)>0.

Khi xét dấu h'(x)=f'(x+6)-2g'(2x+\tfrac52), cần so sánh hai đạo hàm tại hai điểm có đối số khác nhau, nên phải tìm khoảng mà đối số của mỗi hàm nằm trong vùng đã biết dấu. Hàm hiệu h=f(\cdot)-g(\cdot) đồng biến khi h'\ge0.

Số điểm cực trị của tích hoặc lũy thừa của hàm hợp đếm theo dấu của đạo hàm. Với (f^4)'=4f^3f', tại nghiệm đơn của f thì f^3 đổi dấu nên đạo hàm đổi dấu, và đó là cực trị.

Với g(x)=h(u(x)) mà h' có dấu xác định trên từng khoảng, số điểm cực trị của g bằng số nghiệm của u'(x)=0 cộng với số nghiệm của u(x)=c với c là các nghiệm của h', tại đó h' đổi dấu. Với u(x)=|x^3+5x|+m, điểm x=0 là cực tiểu của u, và các nghiệm của u(x)=c cũng cho cực trị khi c là nghiệm đổi dấu của f'.

• đạo hàm hàm hợp — (f(u))'=f'(u)u'; nhân thêm u' là bước dễ bỏ sót.
• đối số âm — y=f(-x) có y'=-f'(-x), làm đảo chiều đơn điệu.
• đổi dấu — chỉ nghiệm mà đạo hàm đổi dấu mới là cực trị.

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Với y=\dfrac{ax+b}{cx+d} (với ad-bc\ne0), đạo hàm là y'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2} và có dấu không đổi trên mỗi khoảng xác định. Hàm đồng biến trên từng khoảng khi ad-bc>0 và nghịch biến khi ad-bc<0. Đường thẳng x=-\dfrac{d}{c} là tiệm cận đứng và không thuộc miền xác định.

Để hàm đơn điệu trên một khoảng cho trước như (-\infty;\alpha), cần khoảng đó không chứa tiệm cận đứng, tức là -\dfrac{d}{c} không nằm trong khoảng. Từ đó suy ra điều kiện của tham số.

• dấu của ad-bc — quyết định đồng biến hay nghịch biến, không phụ thuộc x.
• tiệm cận đứng — ranh giới của miền xác định; khoảng đơn điệu không được chứa nó.
• điểm bằng ranh giới — khi tiệm cận đứng nằm đúng đầu mút của khoảng, vẫn được phép xét.

Cực trị từ đồ thị hàm số

Trên đồ thị, điểm cực đại là điểm cao nhất trong một lân cận (đỉnh cục bộ), còn điểm cực tiểu là điểm thấp nhất trong lân cận (đáy cục bộ). Hoành độ của điểm này là điểm cực trị, và giá trị cực trị là tung độ của điểm đó.

Đồ thị hàm bậc bốn hình chữ W có hai đáy và một đỉnh ở giữa, tức là hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại. Số điểm cực tiểu được đếm bằng số đáy, không tính các đỉnh nằm giữa.