Persamaan linear dan soal umur

Penyelesaian persamaan

Penyelesaian persamaan adalah nilai variabel yang membuat kedua ruas persamaan bernilai sama. Untuk memastikan suatu nilai benar, substitusikan nilai itu ke persamaan asal lalu periksa apakah kedua ruas menghasilkan bilangan yang sama. Pemeriksaan ini penting karena kesalahan tanda atau salah memindahkan suku sering baru terlihat setelah perhitungan panjang.

Persamaan linear satu variabel diselesaikan dengan memindahkan suku yang memuat variabel ke satu ruas dan konstanta ke ruas lain. Setiap suku yang berpindah ruas mengganti tandanya: penjumlahan menjadi pengurangan dan perkalian menjadi pembagian. Contohnya, 5x − 7 = 2x + 8 menjadi 3x = 15 sehingga x = 5. Jika variabel muncul di kedua ruas, kumpulkan suku variabel di satu ruas dan konstanta di ruas lain sebelum membagi dengan koefisiennya. Suku sejenis yang berbentuk pecahan juga digabung lebih dulu, misalnya (1/4)x + (1/6)x = (5/12)x, sehingga (5/12)x = 10 menghasilkan x = 24.

Pecahan dihilangkan dengan mengalikan seluruh suku dengan KPK penyebutnya. Jika kedua ruas memuat pecahan dengan penyebut berbeda, kalikan dengan KPK seluruh penyebut lalu sederhanakan. Bila hanya satu suku bervariabel yang berpecahan, cukup kalikan kedua ruas dengan kebalikan koefisiennya, misalnya (2/5)x = 8 menjadi x = 20. Desimal dihilangkan dengan mengalikan 10, 100, atau 1000 sesuai banyak angka di belakang koma, misalnya 0,3x + 1,2 = 2,1 dikali 10 menjadi 3x + 12 = 21.

Tanda kurung dijabarkan lebih dulu, misalnya 4(x + 2) = 2(y − 1) menjadi 4x + 8 = 2y − 2. Pada persamaan pecahan yang memuat tanda kurung, kalikan dengan KPK penyebut terlebih dahulu, lalu jabarkan kurungnya agar bentuk linearnya rapi.

Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) diselesaikan dengan substitusi atau eliminasi. Substitusi dipakai bila salah satu variabel mudah dinyatakan: dari y − x = 1 diperoleh y = x + 1, dari 3x − y = 0 diperoleh y = 3x, dari x − 2y = 0 diperoleh x = 2y, dan dari x + y = 8 diperoleh x = 8 − y. Pada persamaan 2x + y = 10, 2x + y = 19, atau 2x − y = 9, variabel y dinyatakan sebagai y = 10 − 2x, y = 19 − 2x, atau y = 2x − 9 sebelum disubstitusikan.

Eliminasi dilakukan dengan menghapus salah satu variabel. Jika koefisiennya sudah sama besar, kedua persamaan dijumlahkan bila tandanya berlawanan atau dikurangkan bila tandanya sama; contohnya 2x + 3y = 12 dan 2x − 3y = 0 dijumlahkan menjadi 4x = 12 sehingga x = 3. Jika koefisiennya belum sama, kalikan masing-masing persamaan dengan bilangan yang sesuai. Misalnya 2x + y = 7 dikali 2 lalu dikurangi x + 2y = 8 menghasilkan 3x = 6. Pada y − x = 4 dan x + y = 10, koefisien x berlawanan tanda sehingga penjumlahan langsung menghapus x.

Dalam sistem, persamaan yang memuat pecahan atau desimal dibersihkan lebih dulu agar koefisiennya bilangan bulat. Misalnya x/3 + y/4 = 2 dikalikan 12 menjadi 4x + 3y = 24. Desimal diperlakukan sama, misalnya 0,4x + 0,5y = 5,3 dikalikan 10 menjadi 4x + 5y = 53. Jika kedua persamaan memuat pecahan atau desimal yang berbeda, masing-masing dikalikan dengan bilangan berbeda hingga koefisiennya bulat. Setelah itu, persamaan yang salah satu variabelnya dapat dinyatakan lebih dulu, misalnya x − y/2 = 1 menjadi x = 1 + y/2, disubstitusikan ke persamaan lain. Substitusi bentuk x = y − 2 atau y = 2x − 9 ke persamaan yang sudah bulat menghasilkan persamaan satu variabel.

Setelah nilai x dan y diperoleh, hubungan keduanya ditentukan dengan membandingkannya memakai tanda <, >, atau =. Dua persamaan linear dengan dua variabel yang koefisiennya tidak sebanding memiliki satu penyelesaian, sehingga hubungan keduanya selalu dapat dipastikan. Hubungan x = y terjadi ketika kedua variabel bernilai sama, seperti pada x + y = 6 dan x − y = 0 yang menghasilkan x = y = 3. Dalam soal yang membandingkan dua kuantitas, nilai masing-masing kuantitas dihitung dahulu lalu dibandingkan.

Persamaan kuadrat difaktorkan dengan mencari dua bilangan yang hasil kalinya sama dengan konstanta dan jumlahnya sama dengan koefisien x. Contohnya x² − 7x + 12 = 0 menjadi (x − 3)(x − 4) = 0 sehingga x = 3 atau x = 4. Jika hasil faktorisasinya berupa kuadrat sempurna seperti (y − 3)² = 0, nilai variabelnya hanya satu. Jika akarnya lebih dari satu, variabel dapat bernilai lebih dari satu sehingga hubungannya dengan variabel lain tidak tunggal. Bentuk a² − b² = (a + b)(a − b) berguna karena jika a + b dan a² − b² diketahui, nilai a − b dapat dicari dari hasil baginya.

Persamaan yang memuat akar diselesaikan dengan menghilangkan tandanya. Kedua ruas dikuadratkan sehingga akar hilang, misalnya √(x + 4) = 5 menjadi x + 4 = 25. Pada bentuk (√a)², hasilnya langsung a, sehingga (√25)² = 25. Akar dari bilangan berpangkat diubah dengan membagi pangkatnya menjadi setengah, misalnya √(16^x) = 4^x karena 16^x = 4^(2x).

Persamaan berpangkat diselesaikan dengan menyamakan basis. Jika a^m = a^n dengan a > 0 dan a ≠ 1, maka m = n. Basis dinyatakan sebagai pangkat bilangan prima, misalnya 4 = 2², 8 = 2³, 9 = 3², 27 = 3³, dan 32 = 2⁵, lalu eksponennya disamakan. Pangkat pecahan menyatakan akar, yakni a^(1/2) = √a, sehingga 4√2 = 2² × 2^(1/2) = 2^(2,5) dengan aturan a^m × a^n = a^(m+n). Aturan (a^m)^n = a^(mn) dipakai untuk mengubah (2²)^(x+1) menjadi 2^(2x+2).

Soal tidak selalu meminta nilai x atau y saja. Yang ditanyakan dapat berupa ekspresi seperti x² − 2x atau x + y, akar dari suatu bentuk aljabar, atau perbandingan dengan bentuk seperti y + 2. Setelah nilai variabel diperoleh, substitusikan ke ekspresi tersebut dengan urutan operasi yang benar. Pada perbandingan dua kuantitas berupa ekspresi seperti 2x dan 3y + 1, hitung masing-masing nilainya lalu bandingkan.

Soal umur

Soal umur adalah soal cerita yang menghubungkan usia dua orang atau lebih pada tiga waktu: sekarang, beberapa tahun yang lalu, dan beberapa tahun yang akan datang. Soal ini diselesaikan dengan mengubah hubungan dalam kalimat menjadi persamaan linear satu atau dua variabel, lalu menyelesaikannya dengan substitusi atau eliminasi.

Langkah baku:

• Misalkan usia sekarang salah satu orang dengan variabel, misalnya x. Jika hubungan sekarang berbentuk kelipatan, usia orang lain dinyatakan dengan kelipatan variabel itu, misalnya tiga kali x.
• Terjemahkan setiap waktu yang disebut. Usia t tahun yang lalu dibentuk dengan mengurangi t dari usia masing-masing orang. Usia t tahun yang akan datang dibentuk dengan menambah t pada usia masing-masing orang.
• Periksa hasil dengan memasukkan nilai yang diperoleh ke dalam kalimat soal, termasuk kondisi waktu lampau atau akan datang yang disebut.

Selisih usia dan jumlah usia. Kedua orang bertambah tua dengan laju yang sama, sehingga selisih usia mereka selalu tetap pada waktu kapan pun. Ungkapan lebih tua daripada atau lebih muda daripada menyatakan selisih, bukan kelipatan. Oleh karena itu, selisih usia sekarang dapat langsung dihitung dengan mengurangkan usia kedua orang saat ini. Sebaliknya, jumlah usia dua orang berubah sebesar 2t setiap t tahun berlalu. Jadi, jumlah usia t tahun yang akan datang sama dengan jumlah usia sekarang ditambah 2t, dan jumlah usia t tahun yang lalu sama dengan jumlah usia sekarang dikurangi 2t. Hubungan ini dipakai ketika jumlah usia pada waktu lain diketahui, lalu jumlah usia sekarang dicari.

Perbandingan dan pecahan. Perbandingan a : b = m : n ditulis sebagai a = mk dan b = nk, dengan k sebagai faktor pengali. Cara ini praktis jika jumlah usia atau selisih sudah diketahui, sehingga k dapat dicari dari persamaan jumlah. Ungkapan dua pertiga dari atau sepertiga dari diubah menjadi perbandingan, misalnya usia pertama dua pertiga usia kedua berarti usia pertama 2k dan usia kedua 3k. Pecahan seperti 4/3 dari dibaca sebagai perbandingan 4 : 3.

Perbandingan pada waktu lampau dan akan datang. Jika perbandingan usia berlaku pada waktu lampau atau akan datang, setiap usia ditambah atau dikurangi t sebelum dibandingkan. Kalimat seperti usia ibu lima kali usia anak tiga tahun yang lalu menghasilkan persamaan dengan usia masing-masing dikurangi 3, sehingga usia sekarang dapat dicari dari persamaan itu. Jika perbandingan terjadi pada dua waktu berbeda, misalnya empat tahun lalu dan enam tahun lagi, dua persamaan dibentuk dan diselesaikan sebagai sistem persamaan.

Kata kunci yang sering muncul:

• lima tahun yang lalu / lima tahun lalu — usia masing-masing dikurangi 5.
• dua belas tahun yang akan datang / lagi — usia masing-masing ditambah 12.
• berapa tahun lagi — cari t sehingga kelipatan baru terpenuhi, misalnya usia ayah + t = 2 (usia anak + t). Setelah t ditemukan, jawaban sesuai dengan yang ditanyakan.
• dua tahun yang lalu / 6 tahun kemudian — setelah usia sekarang diketahui, usia pada waktu yang ditanyakan dihitung dengan menambah atau mengurangi selisih waktu.
• ketika umur X tepat — tentukan selisih waktu antara usia sekarang dan usia X, lalu terapkan selisih itu kepada orang lain.