Operasi hitung bilangan dan rata-rata

Perbandingan dan pecahan jumlah

Perbandingan a : b pada suatu jumlah berarti jumlah total dibagi menjadi (a + b) bagian yang sama besar, lalu kelompok pertama memperoleh a bagian dan kelompok kedua memperoleh b bagian. Karena itu, bagian kelompok pertama adalah a/(a+b) dari total dan bagian kelompok kedua adalah b/(a+b) dari total, sehingga perbandingan biasanya diubah menjadi pecahan terhadap total sebelum dihitung. Contoh: 60 peserta dengan perbandingan laki-laki : perempuan = 2 : 1 berarti laki-laki 2/3 × 60 = 40 orang dan perempuan 1/3 × 60 = 20 orang.

Selisih dua kelompok hasil pembagian perbandingan dihitung dengan mengurangkan jumlah masing-masing, bukan dengan mengurangkan nilai rasionya. Pada contoh di atas selisihnya 40 − 20 = 20 orang, yaitu (2 − 1)/(2 + 1) dari total. Perbandingan kedua kelompok yang dibagi dari sisa juga dihitung dengan cara yang sama.

Persentase adalah pecahan per seratus, sehingga p% dari suatu jumlah sama dengan p/100 × jumlah. Konversi yang sering dipakai: 25% = 1/4, 12,5% = 1/8, 37,5% = 3/8, 0,35 = 35%, dan 0,5 = 50%. Untuk menyatakan selisih sebagai persentase total, hitung selisih dibagi total lalu dikali 100%.

Jika suatu kelompok berjumlah x dan merupakan p% dari total, maka total = x ÷ p%, dan kelompok lainnya adalah (100 − p)% dari total. Dengan cara ini jumlah total dapat dicari dari satu data persentase dan satu jumlah kelompok.

Pecahan yang diterapkan berantai harus dihitung dari kelompok yang tepat. Bagian kedua selalu dihitung dari sisa setelah bagian pertama diambil, bukan dari total.

Pada pecahan dari bagian (bagian dari bagian), persentase diterapkan pada kelompok yang sudah dipersempit. Jika 3/4 dari kelompok mengikuti kegiatan A dan 40% dari kelompok itu juga mengikuti kegiatan B, maka yang mengikuti A tetapi tidak B adalah (100% − 40%) dari kelompok A, bukan 40%.

Banyak anggota yang tidak termasuk suatu kelompok dihitung dengan mengurangkan kelompok itu dari total, atau dari bagian yang relevan. Untuk persentase, kelompok yang tidak termasuk = 100% − persentase kelompok.

Saat dua kelompok tidak beririsan, jumlah yang tidak termasuk keduanya adalah total dikurangi jumlah kedua kelompok. Jika kedua kelompok beririsan, jumlah yang masuk minimal salah satu adalah jumlah A + jumlah B − jumlah yang masuk keduanya, sehingga kelompok 'hanya B' adalah B − irisan.

Jika bagian dan pecahannya diketahui, total dapat dicari dengan total = bagian ÷ pecahan. Setelah itu, jumlah tiap kelompok dihitung dari masing-masing pecahan dan dijumlahkan.

Saat membandingkan dua kuantitas P dan Q yang berasal dari kelompok berbeda, hitung dahulu jumlah masing-masing, karena persentase yang lebih besar belum tentu menghasilkan jumlah yang lebih besar. Sebelum memutuskan hubungan, pastikan kedua nilai sudah dihitung dengan dasar yang benar.

Persentase kelulusan atau keikutsertaan dari beberapa kelompok dijumlahkan setelah tiap kelompok dihitung dari persentasenya sendiri. Untuk menyatakan hasil gabungan sebagai persentase total, jumlah gabungan dibagi total lalu dikali 100%.

Jika total dibagi dalam beberapa bagian, bagian-bagian itu harus berjumlah 100% atau total. Satu bagian dihitung dengan mengalikan persentasenya dengan total, lalu dibandingkan dengan kuantitas lain yang juga dihitung dengan cara sama.

Sisa dari total dibagi menurut perbandingan tertentu, sehingga setiap bagian sisa dihitung dari sisa, bukan dari total. Pembagian sisa ke dua unit atau dua kelompok dengan perbandingan diikuti oleh perhitungan persentase tiap bagian sisa.

Pada campuran dengan perbandingan awal, bila salah satu komponen ditambah, volume campuran berubah. Perbandingan akhir dihitung ulang dari volume masing-masing komponen setelah penambahan, bukan dari perbandingan awal.

Operasi hitung campuran bilangan

Operasi hitung campuran adalah ekspresi yang memuat beberapa jenis operasi sekaligus, yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, pemangkatan, dan tanda kurung. Jawaban akhir hanya benar jika setiap langkah mengikuti urutan operasi. Mengerjakan dari kiri ke kanan tanpa aturan prioritas hampir selalu menghasilkan jawaban yang keliru.

Urutan operasi yang harus dipegang:

• Tanda kurung — bagian dalam kurung dikerjakan lebih dahulu. Pada kurung bersarang, kurung yang paling dalam didahulukan. Contoh: 2 × (7 − 3) + 4 = 2 × 4 + 4 = 12.
• Pangkat — dikerjakan sebelum perkalian dan pembagian. Pangkat hanya berlaku pada bilangan di depannya, sehingga 3 × 2² = 3 × 4 = 12, bukan (3 × 2)² = 36. Jika kurung berada di depan pangkat, kurung dikerjakan dahulu, misalnya (8 − 2)² = 6² = 36.
• Kali dan bagi — sederajat, sehingga dikerjakan dari kiri ke kanan. Contoh: 36 ÷ 6 × 3 = 6 × 3 = 18, bukan 36 ÷ 18 = 2.
• Tambah dan kurang — juga sederajat dan dikerjakan dari kiri ke kanan setelah seluruh perkalian dan pembagian selesai. Contoh: 10 − 4 + 3 = 6 + 3 = 9.

Pecahan dan desimal: Soal campuran sering memuat pecahan dan desimal bersamaan. Ubah ke satu bentuk yang paling mudah dikerjakan dengan mengingat padanannya, yaitu 0,5 = 1/2, 0,25 = 1/4, 0,75 = 3/4, 0,4 = 2/5, dan 0,125 = 1/8.

• Pecahan dikali bilangan bulat — pembilang dikalikan lalu dibagi penyebut, atau penyebut dibagi lebih dahulu bila habis dibagi. Contoh: 2/5 × 30 = 12.
• Pembagian dengan desimal — bagi dapat diubah menjadi kali dengan kebalikannya, atau kedua bilangan dikalikan 10, 100, dan seterusnya agar menjadi bilangan bulat. Contoh: 3 ÷ 0,5 = 3 × 2 = 6.
• Pembagian dengan pecahan — dikerjakan dengan mengalikan kebalikan pecahan pembagi. Contoh: 4 ÷ 2/3 = 4 × 3/2 = 6.
• Penjumlahan pecahan dan desimal — samakan penyebut atau ubah pecahan menjadi desimal. Contoh: 1/2 + 0,75 = 0,5 + 0,75 = 1,25.
• Pengurangan desimal — jumlah angka di belakang koma harus disamakan terlebih dahulu. Contoh: 0,9 − 0,45 = 0,45.
• Persen — persen dibaca sebagai pecahan per seratus, sehingga 25% = 0,25. Contoh: 20% dari 1/2 = 0,2 × 0,5 = 0,1.
• Lambang pembagian — tanda : berarti ÷. Contoh: 12 : 4 = 3.

Kesalahan yang sering muncul:

• Mengabaikan suku — salah satu suku atau bagian sering terlewat, sehingga hasil menjadi terlalu besar atau terlalu kecil.
• Hasil bagian belum digabung — setiap bagian harus dihitung sampai selesai lalu digabung dengan bagian lain.
• Kesalahan pangkat — 4² = 16, bukan 4 × 2 = 8. Demikian pula 2³ = 8, bukan 2 × 3 = 6, dan 2³ ÷ 4 = 2, bukan 4.

Penerapan pada data dan perbandingan: Pada soal berbasis tabel, pendapatan dihitung dengan rumus jumlah unit × harga per unit. Hasilnya dihitung lebih dahulu sebelum dibandingkan atau dikurangkan. Contoh: 20 unit × Rp5.000 = Rp100.000, sedangkan 30 unit × Rp3.000 = Rp90.000, sehingga pendapatan pertama lebih besar.

Perbandingan dan pecahan jumlah

Soal perbandingan dan pecahan jumlah meminta kita menghitung bagian dari suatu keseluruhan, lalu membandingkan dua kuantitas hasil hitungan tersebut. Bagian dapat dinyatakan dalam tiga bentuk yang setara, yaitu pecahan, persen, dan desimal. Ketiganya dihitung dengan cara yang sama, yaitu nilai pecahan dikalikan jumlah total.

Bentuk setara dan perhitungan bagian

• Persen — p% berarti p/100 dari keseluruhan. Contoh: 30% dari 150 = 0,3 × 150 = 45 orang.
• Desimal — 0,4 setara dengan 2/5 atau 40%. Contoh: 0,25 dari 80 = 20 orang.
• Pecahan — a/b dari N = a/b × N. Contoh: 3/4 dari 60 = 45 orang.

Kuantitas yang dinyatakan dengan persen tidak boleh langsung dibandingkan dengan kuantitas yang dinyatakan dengan pecahan. Keduanya harus diubah menjadi angka pasti terlebih dahulu.

Nilai persentase yang lebih tinggi belum tentu menghasilkan jumlah yang lebih besar, karena jumlah total kelompok ikut menentukan hasilnya. Hitung jumlah bagian setiap kelompok secara terpisah sebelum membuat kesimpulan.

Pada perbandingan dua kelompok berukuran berbeda, bagian yang diambil dari kelompok yang lebih besar sering lebih banyak walaupun pecahannya lebih kecil. Contoh: 1/3 dari 90 = 30 lebih kecil daripada 1/2 dari 40 = 20 tidak berlaku; yang benar adalah 1/3 dari 90 = 30 lebih besar daripada 1/2 dari 40 = 20.

Jika dari suatu kelompok diambil bagian bertingkat, misalnya dulu laki-laki lalu yang gemar tertentu, setiap tingkat harus dihitung dari kelompok pada tingkat sebelumnya. Jumlah yang tidak termasuk kelompok itu dapat dicari dengan mengurangkan dari total.

Kata separuh berarti 1/2 dan kata seperempat berarti 1/4. Keduanya harus diterapkan pada kelompok yang tepat, dan jumlah kelompok lain dihitung dari sisa total.

Pembagian menurut perbandingan a : b membagi total menjadi (a + b) bagian yang sama besar. Bagian untuk a adalah a/(a + b) × total, dan bagian untuk b adalah b/(a + b) × total.

Sisa dan bagian yang tidak diambil Jika p bagian dari keseluruhan diambil, bagian yang tersisa adalah (1 − p) dari keseluruhan. Contoh: jika 0,3 peserta lulus, yang tidak lulus adalah 0,7 dari peserta.

Bila pecahan kedua diambil dari sisa, bukan dari total, pembagi yang dipakai harus sisa setelah pecahan pertama. Pecahan yang dihitung dari total tidak boleh dicampur dengan pecahan yang dihitung dari sisa.

Pada soal dengan beberapa bagian yang saling melengkapi, kelompok yang tidak termasuk satu bagian otomatis termasuk kelompok lain, sehingga jumlahnya dapat dihitung dengan pengurangan.

Bagian laki-laki dalam suatu kelompok adalah total dikurangi perempuan, atau sebaliknya, sehingga satu persentase cukup untuk mendapatkan dua kelompok.

Pada kelompok yang terdiri atas beberapa bidang, bagian kedua dapat dihitung dari bagian pertama, sedangkan bagian ketiga adalah sisa dari total setelah dua bagian pertama dikurangkan.

Bagian bertingkat dan basis persentase Persentase selalu terhadap kelompok yang disebutkan. Persentase terhadap sebagian dan persentase terhadap seluruh tidak boleh disamakan.

Setelah sepertiga kelompok diambil, persentase berikutnya harus dihitung dari sisa, bukan dari total awal.

Sebuah persentase yang dihitung dari sisa tidak sama dengan persentase dari seluruh kelompok. Basis perhitungan harus selalu dinyatakan dengan jelas.

Persentase terhadap kelompok yang lebih kecil dapat menghasilkan jumlah yang berbeda dari persentase terhadap seluruh populasi. Untuk persentase gabungan, jumlah bagian kedua kelompok dibagi total, bukan dengan merata-ratakan dua persentase.

Dalam menilai pernyataan benar atau salah, setiap bagian harus dihitung ulang dari total yang benar. Jika ada persentase yang terhadap kelompok lain, nilai tersebut tidak boleh langsung dipakai.

Persentase kelompok kecil tidak boleh dibandingkan secara langsung dengan persentase kelompok besar. Jumlah bagian yang berhasil dari masing-masing kelompok perlu dicari terlebih dahulu.

Membandingkan dua kuantitas Dalam soal perbandingan kuantitas, hitung nilai kedua kuantitas sampai menjadi angka, lalu tentukan hubungannya. Menebak dari persentase saja berisiko salah.

Pada perbandingan dua kelompok, perkalian dengan angka tertentu seperti dua kali atau dua per tiga harus dilakukan pada hasil akhir. Pernyataan seperti dua kali atau sepersepuluh harus dicek dengan angka yang sudah dihitung.

Selisih dua kelompok dicari dengan mengurangkan bagian yang lebih kecil dari bagian yang lebih besar. Hasilnya selalu bernilai positif dan tidak tergantung urutan pengurangan.

Ketika dua kuantitas hanya memerlukan bagian dari total, data pada soal umumnya sudah cukup, sehingga kuantitas yang tampak tidak dapat ditentukan biasanya keliru.

Pembagian ke dalam kelompok Jika total dibagi ke dalam kelompok dengan isi tetap, jumlah kelompok adalah total dibagi isi per kelompok. Isi per kelompok dapat dikurangi dengan jumlah bagian tertentu untuk mendapatkan kelompok lain.

Jika jumlah peserta dibagi ke dalam kelompok berisi tetap, sisa pembagian selalu lebih kecil daripada isi per kelompok. Sisa ini menjadi jumlah peserta yang tidak dapat membentuk kelompok penuh.

Bila sebagian peserta mengundurkan diri, jumlah peserta yang tersisa dihitung terlebih dahulu sebelum dibagi ke dalam kelompok. Setiap kelompok kemudian dihitung dari sisa tersebut dan dijumlahkan.

Kesalahan umum

• Membandingkan persentase dari dua kelompok berukuran berbeda seolah-olah keduanya memiliki dasar yang sama.
• Mengambil persentase dari total padahal soal meminta persentase dari sisa.
• Menjumlahkan bagian yang seharusnya dikurangkan, atau sebaliknya.
• Menghitung sebagian bagian sebagai bagian lengkap.

Akar dan pangkat

Akar kuadrat (√) mencari bilangan yang jika dikalikan dengan dirinya sendiri menghasilkan bilangan di dalam tanda akar, sedangkan akar pangkat tiga (∛) mencari bilangan yang jika dikalikan tiga kali menghasilkan bilangan itu. Akar pokok selalu bernilai positif, sehingga √289 = 17 dan bukan ±17. Dalam soal, akar sering dikombinasikan dengan operasi lain, sehingga urutan operasi harus dijaga: tanda kurung, lalu pangkat dan akar, lalu perkalian dan pembagian, dan terakhir penjumlahan dan pengurangan. Hasil akar tidak boleh dikuadratkan atau dibagi sebelum selisih di dalam kurung dihitung.

Mengenali bilangan kuadrat dan kubik sempurna mempercepat perhitungan. Beberapa bilangan kuadrat yang sering muncul adalah 81 = 9², 225 = 15², dan 576 = 24². Bilangan kubik yang sering muncul adalah 125 = 5³, 216 = 6³, 343 = 7³, 512 = 8³, dan 729 = 9³. Dengan mengenali bilangan ini, ∛343 langsung bernilai 7 dan √49 langsung bernilai 7. Bilangan 1.024 juga merupakan kuadrat sempurna, yaitu 32², sehingga √(64 × 16) = √1.024 = 32.

Akar dan pangkat pecahan saling berkaitan. Akar pangkat n dari aᵐ dapat ditulis sebagai a^(m/n), sehingga √a = a^(1/2) dan ∛a = a^(1/3). Bentuk ini memungkinkan bentuk akar diubah menjadi pangkat dengan bilangan pokok yang sama. Contohnya √(3^7) = 3^(7/2) dan √32 = 2^(5/2). Demikian pula 8√2 = 2³ × 2^(1/2) = 2^(7/2), dan (√2)^x = 2^(x/2). Jika a^(3/2) bernilai 27, maka a = 27^(2/3) = 9 sehingga a^(1/2) = 3.

Sifat akar pada perkalian berlaku untuk bilangan tidak negatif: √(a × b) = √a × √b dan ∛(a × b) = ∛a × ∛b. Cara paling aman adalah memfaktorkan bilangan di dalam akar menjadi pangkat prima, lalu mengeluarkan setiap pangkat yang bisa dibagi indeks akarnya. Misalnya √(2^6 × 3^2) = 2³ × 3 = 24. Dengan cara yang sama, √(3^6 × 2^2) = 27 × 2 = 54, dan √(2^4 × 3^2 × 5^2) = 2² × 3 × 5 = 60. Sifat ∛(a³ × b³) = a × b juga berlaku, misalnya ∛(5³ × 2³) = 10. Akar dan pangkat dapat bercampur dalam satu bentuk, seperti √(8^4 × 9) = 8² × 3 = 192, atau √(2^6 × 3^2) dikurangi 2³ lalu dikalikan 2^(-2). Pembagian dengan akar seperti ∛27 = 3 juga dihitung setelah bentuk akar disederhanakan.