Pola deret bilangan

Deret selang-seling

Deret selang-seling adalah deret yang tersusun dari dua pola yang bergantian. Suku-suku pada posisi ganjil (U1, U3, U5, …) mengikuti aturan tersendiri, sedangkan suku-suku pada posisi genap (U2, U4, U6, …) mengikuti aturan yang lain. Karena itu, urutan asli tidak bisa langsung dilanjutkan. Deret harus dipisah menjadi dua barisan, dan masing-masing barisan dianalisis sendiri.

Langkah penyelesaiannya sebagai berikut.

• Pisahkan suku bernomor ganjil dan suku bernomor genap ke dalam dua barisan.
• Tentukan pola tiap barisan: beda tetap (barisan aritmetika, Un = a + (n − 1)b), rasio tetap (barisan geometri, Un = a·r^(n−1)), atau selisih yang bertambah atau berkurang secara teratur.
• Tentukan letak suku yang ditanyakan. Suku ke-10 adalah suku genap kelima, sehingga harus dihitung dari barisan genap. Suku ke-9 adalah suku ganjil kelima, sehingga diambil dari barisan ganjil. Secara umum, suku ke-n yang genap adalah suku genap ke-(n/2), dan suku ke-n yang ganjil adalah suku ganjil ke-((n+1)/2).
• Lanjutkan pola pada barisan yang tepat, lalu hitung nilainya.

Kombinasi pola yang sering dipakai:

• Ganjil aritmetika, genap geometri — barisan ganjil bertambah beda tetap, sedangkan barisan genap dikali rasio tetap. Misalnya ganjil 5, 8, 11, … (beda 3) dan genap 2, 4, 8, … (rasio 2). Pola ini paling sering muncul dalam soal.
• Ganjil geometri, genap aritmetika — barisan ganjil dikali rasio tetap, sedangkan barisan genap bertambah beda tetap. Misalnya ganjil 2, 4, 8, … (rasio 2) dan genap 3, 7, 11, … (beda 4). Kedua barisan dilanjutkan secara terpisah.
• Barisan menurun — beda pada barisan aritmetika bernilai negatif. Misalnya barisan genap 20, 16, 12 memiliki beda −4, sehingga suku berikutnya adalah 8.
• Keduanya aritmetika — kedua barisan bertambah dengan beda masing-masing. Misalnya ganjil 1, 3, 5, … (beda 2) dan genap 4, 8, 12, … (beda 4).
• Keduanya geometri — kedua barisan dikali rasio masing-masing. Misalnya ganjil 2, 4, 8, 16, … (rasio 2) dan genap 3, 9, 27, 81, … (rasio 3). Suku ke-10 dari contoh ini adalah 3 × 3^4 = 243.
• Pola khusus — selisih pada barisan genap dapat berubah teratur, misalnya bertambah 1 setiap langkah (+3, +4, +5). Barisan ganjil juga dapat mengikuti rumus kuadrat, misalnya n² + 1.

Operasi bergantian pada satu barisan. Pada jenis ini, deret tidak dipisah berdasarkan posisi. Suku ditambah lalu dikali secara berulang. Contohnya 1, 6, 12, 17, 34, 39, 78, dengan langkah +5 dan ×2 bergantian sehingga suku berikutnya adalah 83. Untuk melihat pola seperti ini, selisih antara dua suku yang berjarak dua langkah dapat membantu menemukan keteraturannya.

Jenis pertanyaan yang sering muncul:

• Suku berikutnya setelah deret yang diberikan ditentukan dari posisi suku terakhir. Jika suku terakhir berada pada posisi genap, suku berikutnya berada pada posisi ganjil, dan sebaliknya. Nilainya diambil dari barisan yang bersesuaian.
• Suku yang rumpang di tengah deret dicari dengan cara yang sama, yaitu dari barisan tempat posisi kosong itu berada.
• Jika soal meminta jumlah dua suku, hitung masing-masing suku terlebih dahulu, lalu jumlahkan.
• Untuk suku ke-n yang jauh, tentukan dulu posisi ganjil atau genap serta indeksnya dalam barisan, lalu gunakan rumus barisan aritmetika atau geometri.

Kesalahan yang sering terjadi adalah menerapkan pola barisan yang salah pada suatu posisi, misalnya memakai rasio barisan genap untuk suku ganjil, atau menganggap suku ke-8 berada pada barisan ganjil. Periksa selalu posisi suku sebelum menghitung.

Deret selang-seling

Deret selang-seling adalah deret yang tersusun dari dua pola yang berjalan bergantian. Suku-suku pada nomor urut ganjil membentuk satu barisan, sedangkan suku-suku pada nomor urut genap membentuk barisan lain. Berbeda dengan barisan biasa yang memakai satu aturan untuk semua suku, deret ini memakai dua aturan sekaligus, sehingga selisih atau pengali antara dua angka yang bersebelahan sering tampak tidak teratur. Karena itu, langkah pertama selalu memisahkan deret menjadi dua subderet berdasarkan nomor urutnya.

Cara memisahkan. Tulis nomor urut setiap suku (U1, U2, U3, …), lalu kelompokkan U1, U3, U5, … sebagai subderet ganjil dan U2, U4, U6, … sebagai subderet genap. Periksa setiap subderet secara terpisah, dan setelah itu baru tentukan aturan yang berlaku pada masing-masing subderet.

Pola yang biasa dipakai pada tiap subderet.

• Beda tetap (aritmetika) — tiap suku diperoleh dengan menambah atau mengurangi bilangan yang sama. Contoh: 4, 7, 10, 13 memiliki beda 3, sedangkan 20, 15, 10, 5 memiliki beda −5. Beda pada subderet ganjil dan subderet genap boleh berbeda, misalnya 3 pada yang satu dan 1 pada yang lain.
• Rasio tetap (geometri) — tiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan pengali yang sama. Contoh: 5, 10, 20, 40 memiliki rasio 2. Pengali pada subderet genap dapat berbeda dengan pengali pada subderet ganjil, misalnya 2 pada yang satu dan 3 pada yang lain.
• Selisih yang berlipat dua — selisih antarsuku pada satu subderet membentuk barisan geometri sendiri, misalnya 6, 12, 24. Pola ini harus dikenali agar tidak salah menebak selisih berikutnya.
• Pola kuadrat — suku pada satu subderet berupa n² atau n² + c. Contoh: 1, 4, 9, 16 adalah kuadrat dari 1 sampai 4.

Kombinasi yang paling sering muncul. Pasangan yang lazim adalah subderet ganjil aritmetika dengan subderet genap geometri, atau sebaliknya. Misalnya, suku genap yang dikali 2 dipasangkan dengan suku ganjil yang ditambah 3. Kedua subderet juga bisa sama-sama aritmetika atau sama-sama geometri, dengan beda atau rasio yang berbeda.

Pola yang berganti dari suku ke suku. Ada deret yang tidak perlu dipisah menurut posisi, melainkan memakai satu operasi yang berganti-ganti dari suku ke suku. Contoh: 2, 7, 5, 10, 8, 13 berganti antara +5 dan −2. Pada jenis ini, periksa langkah dari suku pertama dan jangan memisahkan posisi.

Mencari suku ke-n. Jika n ganjil, suku ke-n adalah suku ganjil ke-((n+1)/2); jika n genap, suku ke-n adalah suku genap ke-(n/2). Suku ke-9 adalah suku ganjil kelima, dan suku ke-10 adalah suku genap kelima. Untuk beda tetap gunakan Un = a + (n−1)b, dan untuk rasio tetap gunakan Un = a·r^(n−1) pada subderet yang bersangkutan. Suku ke-8 adalah suku genap keempat, sedangkan suku ke-11 adalah suku ganjil keenam. Suku ke-12 adalah suku genap keenam.

Kesalahan yang sering terjadi.

• Salah menentukan posisi — suku yang diminta sering berada pada subderet yang tidak diperkirakan, sehingga aturan yang dipakai keliru. Periksa paritas nomor urut sebelum memilih pola.
• Menganggap suku terakhir yang terlihat sebagai suku yang dicari — suku terakhir yang diberikan belum tentu berada pada posisi yang diminta. Hitung dulu selisih posisinya dari subderet yang sesuai.
• Memakai aturan subderet yang salah — penambahan konstan pada subderet ganjil tidak berlaku bagi subderet genap yang berpengali, dan sebaliknya. Jika suku genap berpengali 2, jangan menambahkan selisih yang dipakai pada suku ganjil.
• Lupa menjumlahkan — jika soal meminta jumlah dua suku, hitung tiap suku terlebih dahulu lalu jumlahkan.
• Tempat kosong — posisi kosong tetap dihitung sebagai suku dalam urutan, sehingga harus diisi sesuai paritasnya.
• Menerapkan kuadrat pada seluruh deret — pola kuadrat hanya berlaku pada salah satu subderet, sedangkan subderet lain mengikuti aturan lain.

Deret selisih bertingkat

Deret selisih bertingkat adalah deret yang selisih antarsukunya tidak tetap, tetapi membentuk pola tersendiri. Untuk menentukan suku berikutnya, hitung dulu selisih antarsuku berurutan (selisih tingkat pertama). Jika selisih itu belum konstan, hitung selisih dari selisih tersebut (selisih tingkat kedua), dan seterusnya sampai pola terlihat. Langkah kerjanya: (1) tulis selisih tingkat pertama; (2) jika belum konstan, tulis selisih tingkat kedua atau ketiga; (3) lanjutkan pola sampai posisi yang ditanyakan; (4) tambahkan selisih secara berurutan dari suku terakhir yang diketahui.

Istilah yang sering muncul dalam soal:

• selisih — hasil pengurangan suku berikutnya dengan suku sebelumnya, atau beda antarsuku. Contoh: selisih 4 dan 9 adalah 5.
• suku ke-n — suku yang berada pada urutan ke-n dalam deret. Contoh: suku ke-8 adalah suku kedelapan.
• tempat kosong / angka yang tepat untuk mengisi — suku yang hilang di tengah deret, sehingga dapat diisi dengan menyesuaikan selisih di kiri dan di kanannya. Contoh: pada deret 2, 4, __, 10 selisih tetap 2 sehingga angka yang hilang adalah 6.
• berlipat dua — setiap nilai dua kali nilai sebelumnya. Contoh: 1, 2, 4, 8 berlipat dua.

Pola selisih yang paling sering diuji:

• Selisih tingkat kedua konstan (selisih bertambah tetap) — selisih tingkat pertama membentuk barisan aritmetika, sehingga selisih bertambah dengan beda yang sama. Contoh: 4, 6, 10, 16, 24, selisihnya 2, 4, 6, 8, dan selisih berikutnya adalah 10 sehingga suku berikutnya 34. Beda selisih bisa 1, 2, 3, atau bilangan lain.
• Selisih tingkat ketiga konstan — selisih tingkat kedua sudah membentuk barisan aritmetika, sehingga pola perlu dilihat sampai tingkat ketiga. Contoh: selisih tingkat kedua 2, 4, 6, 8 berarti selisih tingkat ketiga konstan 2. Soal yang membutuhkan dua kali pengurangan berurutan termasuk kategori ini.
• Selisih berlipat dua — selisih setiap langkah dua kali selisih sebelumnya, misalnya 1, 2, 4, 8, 16. Pola ini sering dipakai pada deret yang berkaitan dengan 2ⁿ. Contoh: 5, 6, 8, 12, 20 memiliki selisih 1, 2, 4, 8, sehingga suku berikutnya adalah 36. Pada varian lain, selisih mengikuti 2ⁿ − 1, misalnya 1, 3, 7, 15, 31.
• Selisih berupa kuadrat — selisih membentuk deret kuadrat bilangan asli, yaitu 1, 4, 9, 16, 25, dan seterusnya. Contoh: 3, 4, 8, 17 memiliki selisih 1, 4, 9, sehingga suku berikutnya adalah 33.
• Selisih berbentuk k² + 1 — selisih untuk k = 1, 2, 3, … adalah 2, 5, 10, 17, 26, dan seterusnya. Pola suku ke-n pada kelompok ini adalah n² + 1, sehingga suku ke-n dapat langsung dihitung.