Penalaran proposisi bersyarat dan disjungsi

Penarikan kesimpulan proposisi bersyarat dan disjungsi

Penarikan kesimpulan dari proposisi bersyarat dan disjungsi adalah penalaran deduktif: dari premis yang dianggap benar, simpulan yang pasti benar diturunkan dengan pola bentuk yang sah. Soal jenis ini menguji kemampuan mengenali bentuk premis lalu memilih pola yang tepat, bukan pengetahuan isi. Dalam penjelasan ini dipakai P → Q untuk “jika P maka Q”, P ∨ Q untuk “P atau Q”, dan ¬P untuk “tidak P”.

Pola penarikan kesimpulan dari proposisi bersyarat

• Modus ponens — dari P → Q dan P benar, Q pasti benar.
• Modus tollens — dari P → Q dan ¬Q benar, ¬P pasti benar. Contoh: jika lampu menyala maka listrik mengalir; listrik tidak mengalir; maka lampu tidak menyala. Pola ini sah dan sering dipakai pada soal berantai.
• Silogisme hipotetis — dari P → Q dan Q → R diperoleh P → R. Rantai implikasi dapat dirangkai berulang, lalu modus tollens diterapkan pada ujung rantai. Contoh: A → B, B → C, dan ¬C menghasilkan ¬B, lalu ¬A.
• Kontraposisi — P → Q setara dengan ¬Q → ¬P. Bentuk ini dipakai untuk membalik arah implikasi sehingga pola tollens dapat diterapkan.
• Jika dan hanya jika (P ↔ Q) — P dan Q selalu sama keadaannya, sehingga berarti P → Q dan Q → P berlaku bersamaan.
• Konvers dan invers tidak sah — dari P → Q tidak sah menyimpulkan Q → P (konvers) maupun ¬P → ¬Q (invers). Contoh: jika hujan maka jalan basah, tetapi jalan basah belum tentu karena hujan.
• Afirmasi konsekuen tidak sah — dari P → Q dan Q benar, P belum tentu benar. Kesalahan ini sering muncul bersama penyangkalan konsekuen yang sah; jika konsekuen disangkal, antesedennya pasti disangkal.

Disjungsi

• Disjungsi inklusif (P atau Q, atau keduanya) — paling sedikit salah satu benar, dan keduanya boleh benar bersama. Kesimpulan pasti hanya muncul bila salah satu alternatif disangkal.
• Disjungsi eksklusif (tepat satu, atau salah satu tetapi tidak keduanya) — tepat satu alternatif benar. Penanda seperti “tepat satu dari”, “hanya salah satu”, dan “tetapi tidak keduanya” menunjukkan bentuk ini.
• Silogisme disjungtif — dari P ∨ Q dan ¬P diperoleh Q. Pola ini sah untuk disjungsi inklusif maupun eksklusif, karena penyangkalan satu alternatif memaksa alternatif lain benar.
• Disjungsi lebih dari dua alternatif — bila tepat satu dari tiga kemungkinan benar, menyangkal dua alternatif memaksa alternatif ketiga benar.
• Frasa “wajib … atau …” — dalam kalimat aturan dan ketentuan, frasa ini biasanya berarti disjungsi yang dapat diolah dengan silogisme disjungtif.

Negasi konjungsi dan disjungsi (hukum De Morgan)

• Tidak benar bahwa P dan Q — setara dengan tidak P atau tidak Q, yaitu ¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q. Jika salah satu konjungsi diketahui benar, bagian yang lain harus salah.
• Tidak P dan tidak Q — ¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q. Negasi dua pernyataan yang keduanya disangkal dapat diubah menjadi disjungsi positif, sehingga pola silogisme disjungtif bisa diterapkan.

Rantai penalaran yang sering keliru

• Penarikan dari konsekuen ke antesedennya tanpa dasar adalah kesalahan penalaran, sedangkan penyangkalan konsekuen dapat langsung menyangkal antesedennya melalui modus tollens.
• Dalam soal bersyarat, periksa dahulu apakah premis berbentuk disjungsi, implikasi, atau negasi gabungan, lalu tentukan pola yang sah sebelum memilih simpulan.

Penarikan kesimpulan proposisi bersyarat dan disjungsi

Penarikan kesimpulan dari proposisi bersyarat dan disjungsi adalah penalaran deduktif: bila semua premis benar dan pola penarikannya sah, simpulan pasti benar. Yang diuji adalah bentuk argumennya, bukan kebenaran isi kalimatnya. Proposisi bersyarat berbentuk jika p maka q (p → q), dengan p disebut anteseden dan q disebut konsekuen. Proposisi disjungsi berbentuk p atau q, dan negasi ditulis bukan p.

Pola sah yang paling sering dipakai:

• Modus ponens (penegasan anteseden) — dari p → q dan p benar, diperoleh q benar. Contoh: jika dokumen lengkap maka permohonan diproses; dokumen lengkap; jadi permohonan diproses.
• Modus tollens (penyangkalan konsekuen) — dari p → q dan q tidak benar, diperoleh p tidak benar. Contoh: jika kendaraan dinas dipakai maka buku log terisi; buku log tidak terisi; jadi kendaraan dinas tidak dipakai. Pola ini paling sering menjadi kunci soal, terutama jika premis terakhir menyangkal akibat di ujung rantai.
• Silogisme hipotetis (rantai) — dari p → q dan q → r diperoleh p → r. Rantai bisa lebih panjang. Setelah rantai terbentuk, penyangkalan pada ujungnya dapat diturunkan mundur satu per satu sampai awal rantai dengan modus tollens berulang. Contoh: jika A maka B; jika B maka C; C tidak terjadi; maka A tidak terjadi.
• Kontraposisi — p → q setara dengan bukan q → bukan p. Inilah dasar modus tollens, sehingga premis bersyarat dapat dibalik arah penyangkalannya tanpa mengubah maknanya.
• Silogisme disjungtif — dari p atau q dan bukan p, diperoleh q. Salah satu alternatif harus benar, sehingga penyangkalan satu alternatif memastikan alternatif lainnya.

Disjungsi inklusif (atau, boleh keduanya) menjamin minimal salah satu benar; penyangkalan satu alternatif tetap memastikan yang lain. Disjungsi eksklusif (salah satu, tidak keduanya) menambahkan syarat bahwa keduanya tidak benar bersama, sehingga penegasan satu alternatif sudah menyangkal yang lain. Simpulan tidak boleh menganggap kedua alternatif benar bila teks hanya menyatakan salah satu.

Negasi konjungsi: tidak benar bahwa p dan q setara dengan bukan p atau bukan q. Negasi disjungsi: tidak benar bahwa p atau q setara dengan bukan p dan bukan q. Jadi jika dua hal tidak mungkin terjadi bersama dan salah satunya terjadi, yang lain tidak terjadi.

Biimplikasi (p jika dan hanya jika q) berarti p → q dan q → p sekaligus; penegasan atau penyangkalan pada satu sisi berlaku untuk sisi lainnya dengan pola ponens atau tollens.

Modus tollens dan modus ponens dapat dipakai berurutan. Penyangkalan konsekuen menghasilkan penyangkalan anteseden, yang kemudian menjadi premis penegasan untuk premis berikutnya.

Bila anteseden berbentuk konjungsi p dan q → r, dan r tidak benar, maka bukan (p dan q) yang diperoleh. Jika q benar, bukan p yang didapat; pola negasi konjungsi ini sering muncul pada syarat gabungan.

Modus tollens dapat diterapkan dua kali berturut-turut pada rantai tiga langkah, dan hasilnya tetap sah.

Pernyataan 'setiap A adalah B' berarti seseorang yang bukan B pasti bukan A. Pernyataan 'tidak ada A yang sekaligus B' berarti yang termasuk A tidak termasuk B. Keduanya dapat dipadukan dengan modus tollens untuk satu individu tertentu.

Soal berbentuk teka-teki penempatan atau kelulusan memberi sejumlah syarat. Mulailah dari fakta yang pasti, terapkan setiap syarat untuk menurunkan fakta baru, lalu ulangi sampai tidak ada lagi yang dapat diturunkan. Hanya fakta hasil penurunan yang pasti benar; fakta yang tidak ditentukan oleh syarat tetap tidak dapat dipastikan.